Александр Филиппов - Многоликий солитон
*) Такое отражение солитонов впервые наблюдал и описал Рассел.
Позднее были обнаружены двумерные обобщения «групповых» солитонов на поверхности воды, но нам более интересны солитоны, связанные с вихрями. Что значит «связанные» с вихрями? Эта связь двойственна. С одной стороны, там, где есть вихри, могут возникать настоящие солитоны. С другой стороны, сами вихри и более сложные объекты, построенные из вихрей, можно рассматривать как многомерные солитоноподобные образования. Посмотрим сначала на примеры простых солитонов, образующихся на вихрях.
Вокруг вихрей воронки в ванне часто можно увидеть бегущие спиральные волны, природа которых близка к природе открытых Россом спиральных рукавов галактики (рис. 3.8). Только в этом случае средой для волн является межзвездный газ, и рукава связаны с его уплотнениями. По-видимому, эти уплотнения играют существенную роль в образовании звезд из галактического газа. Детали происходящих при этом сложных процессов пока не вполне ясны, но можно предположить, что гигантские уединенные волны плотности, близкие родственники таких знакомых и доступных спиральных волн вокруг вихря в ванне, составляют основу, подмостки, на которых разыгрывается грандиозное космическое действо рождения звезд...
В сливное отверстие ванныЗмеистой воронкой уходит вода,Такими же точно вьюнамиБегут по земле ураганы...Л. Мартынов
Зоркий глаз поэта не только увидел еще один солитон, живущий на вихре, но и подметил дaлеко идущую аналоrию с атмосферными вихрями. Вы, конечно, обратили внимание на эпитет «змеистый» и сравнение с «вьюном». Они дают очень точное качественное описание волн и солитонов на ножке вихря. Нам остается только спросить: а почему волны на вихревой нити извиваются змеей, вьюном, а не распространяются, как по упругой резинке?
Ответ на этот вопрос мы, в сущности, уже знаем. Точнее, нам известно, что вихревое кольцо движется перпендикулярно своей плоскости, причем скорость кольца тем больше, чем меньше его радиус. Помня об этом, можно поверить, что при изгибе вихревой нити они будут двигаться перпендикулярно к плоскости, в которой происходит изгиб, и что скорость этого движения увеличивается при увеличении изгиба. Теперь нетрудно понять, что всякий изгиб вихревой нити будет вызывать ее закручивание «вьюном», т. е. по спирали. Солитон, образующийся на вихревой нити, и есть такая спираль, можно назвать его «спиральным солитоном». Если смотреть на него сверху, вдоль первоначального направления нити, то мы увидим картину, изображенную на рис. 7.12.
Это — проекция на плоскость ху; часть нити, лежащая ниже этой плоскости, нарисована штриховой линией. Координаты спирали на плоскости ху определяются очень просто: r = r0/ch(φ/φ0). Координату z каждой точки кривой также найти несложно, нам достаточно знать, что z приблизительно пропорционально φ/φ0.
На рис. 7.12 изображена моментальная «фотография» проекции спирального солитона на плоскость ху. На самом деле солитон равномерно движется вдоль оси z, а его проекция на плоскость ху равномерно вращается. Скорость движения вдоль оси z обратно пропорциональна «амплитуде» солитона r0, подобно тому как скорость вихревого кольца обратно пропорциональна его диаметру. Некоторое представление о форме спирального солитона можно получить, если на телефонном шнуре сложить петельку в виде солитонов Эйлера и потом растягивать ее, одновременно стараясь перекрутить провод. Такая кривая будет моделью лишь для центральной части солитона. Спиральный солитон в действительности все время как бы обвивается вокруг равновесного положения нити. Этот солитон можно назвать одним из самых простых воплощений группового солитона. Амплитуда самой высокой «волны» равна r0, амплитуда следующей r1 и т. д., а кривую r(φ)= r0/ch(φ/φ0) можно считать «огибающей» этих «волн».
В более крупном масштабе спиральный солитон наблюдался на смерчах (в Северной Америке, где они появляются особенно часто, их называют торнадо). Смерч образуется из вихря, который зарождается в глубине ливневой тучи. Один конец вихря опускается в виде «хобота», под влиянием которого закручивается вихрь на поверхности земли или воды. Все вместе образует гигантский медленно движущийся вертикальный столб. Смерч захватывает и уносит в облако разные мелкие предметы, которые потом могут выпадать вместе с дождем (известны, например, «рыбные» дожди). Хотя он сам движется медленно, внутри него воздух вращается с огромной скоростью, скорость ветра в смерче может достигать 300 км/ч! «Ножка» такого смерча часто совершает плавные спиральные колебания. Возможно, что подобные спиральные колебания, аналогичные солитонам на тонкой вихревой нити, приводят и к самому выходу вихря из облака.
Более безобидные, точнее, совсем безобидные солитоны образуются на границах вихревых областей. Представим себе плоское течение воды, в котором образовалась вихревая область радиуса R (рис. 7.13). Если измерить мгновенную скорость жидкости в каждой точке этой области (в системе покоя ее центра), то она будет равна ωr. Это значит, что если жидкость вдруг отвердеет, то получившееся твердое тело будет вращаться с угловой скоростью ω, где ω = 2π/Т, а T — период вращения.
Простое рассуждение показывает, что несмотря на это, каждая капля жидкости внутри вихревой области вращается. Рассмотрим движение небольшого кружка с радиусом Δr, (рис. 7.13). Центр его О' движется со скоростью ωr, самая дальняя от центра О точка — со скоростью ω(r + Δr), а ближайшая к центру О точка — со скоростью ω(r - Δr). Если мы поместимся в точку О', т. е. в мгновенную систему покоя кружка, то обнаружим, что кружок вращается с угловой скоростью ω. В этом смысле все точки вихревой области равноправны, и говорят, что в круге радиуса R — жидкость находится в состоянии однородного вихревого движения.
Так вот, на границе между этой областью и остальной жидкостью, где движение безвихревое, могут существовать волны и солитоны, которые причудливым образом меняют форму вихревой области. На рис. 7.13 такое изменение границы области изображено штриховой линией. Так как солитон движется вдоль границы, то будет казаться, что вихревая область вращается. Наблюдать такие солитоны нелегко, но в численных экспериментах на ЭВМ действительно были обнаружены вращающиеся вихревые области разной формы. В общем, солитоны столь любят вихри, что можно без преувеличения сказать: вглядитесь в вихри попристальнее и непременно найдете солитон!
В то же время и сами вихри можно во многих случаях считать солитонами или, по крайней мере, солитоноподобными. Вспомним о паре вихрей (овале) Кельвина. Внешне он настолько похож на солитон, что естественно попытаться посмотреть, что с ними произойдет при столкновении. Для математики прошлого века эта задача была совершенно непосильной, да и в наше время с помощью карандаша и бумаги ее не решить. Пока ответ на этот вопрос был найден только в численных экспериментах, выполненных одним из «отцов» современной теории солитонов Норманом Забуски. Результат одного из таких экспериментов схематически изображен на рис. 7.14. Большой и более быстрый вихрь 1 догоняет более слабый вихрь 2 (а). При ударе он разбивает его на части (б), но они потом воссоединяются и в конечном счете выходят из столкновения почти не изменившимися (в). Слово «почти» относится к тому, что вблизи второго вихря появились дополнительные маленькие вихри. Видно, что вихревые состояния Кельвина очень похожи по настоящие солитоны, насколько похожи — покажет будущее.
К сожалению, все движения в жидкости всегда связаны с трением, и поэтому вихри в обычных жидкостях затухают, если вихревое движение не поддерживается притоком энергии извне. Существуют, однако, замечательные жидкости, в которых трение при определенных условиях исчезает! Проницательный читатель, конечно, догадался, что автор имеет в виду явления сверхтекучести и сверхпроводимости.
В 1938 г. Петр Леонидович Капица (1894—1984) обнаружил, что при температуре ниже Тк 2,19 К вязкость жидкого гелия внезапно падает по меньшей мере в миллион раз. Он высказал смелую гипотезу, что вязкость не просто мала, но вообще отсутствует, и назвал это явление сверхтекучестью (примерно в то же время некоторые эффекты сверхтекучести жидкого гелия наблюдал также английский физик Джон Аллен). В серии замечательно остроумных опытов Капица за короткое время выяснил необычайные свойства сверхтекучего гелия, которые в 1941 г. объяснил Лев Давидович Ландау (1908—1968).
