Александр Филиппов - Многоликий солитон
На самом деле, наш рассказ подходит к естественному концу. После основополагающих работ 1965—1967 гг. усилиями многих физиков и математиков СССР, США, Японии и других стран была разработана математическая теория солитонов, составившая новый раздел математической физики. Невозможно рассказывать о дальнейшей истории солитонов, не касаясь идей и результатов этой теории. В то же время рассказать о ней, пользуясь тем скудным математическим языком, которым мы здесь ограничены, тоже невозможно.
Также обречена была бы на неудачу попытка описать все найденные за последние двадцать лет физические приложения идеи солитона. Трудно назвать область современной физики, в которой сегодня не изучались бы солитоны и солитоноподобные объекты. Поэтому простая экскурсия по «зоологическому саду» физических солитонов неизбежно превратится в долгое и нелегкое путешествие по всей современной физике.
Итак, «о том, что очень близко, мы лучше умолчим». Однако ставить точку пока рано! Нам еще нужно проследить за судьбой еще нескольких идей, зародившихся в прошлом веке, и описанных в гл. 3. Попутно, конечно, мы познакомимся с несколькими новыми применениями солитонов, однако это будет лишь беглое знакомство, не ждите от него многого. Оно будет похоже на быструю автомобильную экскурсию по Москве: «Справа мы видим здание Большого театра, построенное в 1824 г. по проекту Бове и Михайлова, слева — здание Малого театра и памятник Островскому работы Андреева, впереди — гостиница «Метрополь» с керамическим панно «Принцесса Греза» по рисунку Врубеля...». Примерно в таком стиле будет и наш рассказ...
Сначала, однако, завершим наш рассказ о численном эксперименте Ферми, Пасты и Улама. На самом деле Ферми, Пасте и Уламу просто «повезло». Если бы они смогли проследить за судьбой своей цепочки достаточно долго, они увидели бы, что возвращение к начальному состоянию постепенно становится все менее и менее точным и в конце концов устанавливается хаос.
Другое дело — описываемая КдФ-уравнением «струна» 3абуски и Крускала. В ней возвращение должно наблюдаться в принципе неограниченно долго. Оговорка «в принципе» связана с тем, что в реальном численном эксперименте происходит накопление ошибок и возвращение тоже перестает быть точным. Если бы вычисления производились абсолютно точно, то мы увидели бы, что солитоны, изображенные на рис. 7.6, много раз столкнувшись, в конце концов снова собрались бы в синусоидальную волну. После этого все началось бы сначала!
Физические системы, которые рано или поздно возвращаются в начальное состояние, называют интегрируемыми. К ним относятся все системы, в которых существуют настоящие солитоны. Простейший пример интегрируемой системы — маятник. Однако если есть трение, то свойство интегрируемости теряется и маятник не возвращается в начальное состояние. Если трение очень мало, то маятник с хорошим приближением можно считать интегрируемой системой и он возвращается в первоначальное состояние достаточно много раз. Точно так же цепочка Ферми — Пасты — Улама интегрируема лишь приближенно, даже если пренебречь трением и вычислительными ошибками. Существуют, однако, и точно интегрируемые цепочки атомов. В 1967 г. японский физик М. Тода показал, что если сила, действующая на атом со стороны его соседей, равна
то цепочка будет интегрируемой и в ней существуют солитоны, совершенно подобные солитонам КдФ.
Но отправимся в нашу беглую экскурсию!
Океанические солитоны:
цунами *), «девятый вал»
А волны в злобе постоянной бегут к прибрежью моему.
А. Фет28 декабря 1908 г. на юге Италии произошло землетрясение, в результате которого погибло 82 тыс. человек. Страшные разрушения были вызваны также поднятой им гигантской волной, которая была описана М. Горьким: «...Поднялась к небу волна высоты неизмеримой, закрыла грудью половину неба и, качая белым хребтом, согнулась, переломилась, упала на берег и страшной тяжестью своею... смыла весь берег». Горький описал здесь цунами. Японское слово «цунами» обозначает просто «большую волну в гавани». Цунами чаще всего образуется, когда достаточно крупный, но безвредный в открытом океане солитон выбрасывается на берег. Не все цунами вызваны солитонами, но, по мнению специалистов, большинство цунами — солитонного происхождения.
*) Основные сведения о цунами заимствованы из книги: Пелиновский Е. Н. Нелинейная динамика волн цунами. — Горький: ИПФ АН СССР, 1982.
Чаще всего солитон в открытом океане образуется при землетрясении океанского дна. Длина его может достигать 500 км, но даже для относительно короткого солитона длиной 10 км океан можно считать мелким. Высота солитона в океане обычно невелика, не больше 10 м, и такую плавную волну трудно даже заметить. Среднюю скорость солитона вдали от берега легко вычислить по формуле v = . При h 1 км получаем v 100 м/с. При изменении рельефа дна эта скорость меняется в пределах от 50 до 700 км/ч. При подходе к берегу солитон замедляет движение, становится короче и выше.
Чтобы это увидеть, достаточно вспомнить соотношение (7.2) и учесть, что энергия солитона остается постоянной. Так как энергия солитона пропорциональна y02l, то условие ее постоянства удобно выразить, введя еще один параметр L с размерностью длины: L3 = y02l. Из (7.2) при S 1 из этого соотношения легко найти, что y0 L2/h, а l h2/L. Для океанских солитонов значение L обычно равно нескольким десяткам метров. Эти простые соотношения, конечно, пригодны, пока L h. При L h высота солитона y0 сравнивается с глубиной h, и нелинейность уже нельзя считать малой. Начинаются нелинейные процессы обрушивания волны, последняя стадия которых и описана Горьким.
Больше всех страдают от цунами, вызванных землетрясениями, Япония и Чили. Одно из самых сильных цунами обрушилось на Японию в 1896 г. Высота волны, обрушившейся на берег, достигла 30 м, погибло около 30 тыс. человек. Среди тех, кто читал о леденящих душу подробностях этого бедствия, наверняка были и немногочисленные читатели недавно полученного номера журнала со статьей Кортевега и де Фриза. Никому из них, однако, не пришла в голову мысль, что прочитанная ими сугубо математическая работа имеет самое прямое отношение к беде, постигшей жителей Японии. Солитонная теория цунами возникла лишь три четверти века спустя.
Самые важные проблемы, которые изучаются сегодня теорией цунами, это условия образования начальной волны и ее эволюция при подходе к берегу. Движение солитона в океане можно довольно неплохо рассчитать с помощью общей теории, но условия его рождения и его разрушительное действие очень сильно зависят от местных условий. Один и тот же солитон будет вести себя совершенно по-разному на открытом пологом берегу, в гавани или в устье реки (в последнем случае цунами часто порождает бор). Рождение солитона может быть вызвано разными причинами — землетрясением, взрывом вулкана или «искусственным» взрывом в воде, обвалом или оползнем берега. Например, взрыв вулкана Кракатау в 1883 г. привел к образованию на берегах Индонезии цунами с высотой до 45 м. Жертвами этой катастрофы стали 36 тыс. человек. Специалисты считают, что энергия этого взрыва была равна энергии взрыва сотен тысяч атомных бомб, подобных сброшенной на Хиросиму. Между прочим, существует гипотеза, что цунами, вызванное взрывом вулкана в Эгейском море, погубило 3,5 тыс. лет назад легендарную Атлантиду.
Ясно, что для предсказания цунами и оценки их разрушительной силы нужно выполнить еще много экспериментов на лабораторных моделях и расчетов на ЭВМ математических моделей цунами. Этим занимаются многие коллективы ученых, особенно в странах, которым угрожает это бедствие (в нашей стране цунами иногда «посещает» Камчатку и Курильские острова). В недалеком будущем, когда расчеты цунами смогут делать самые мощные и самые быстродействующие ЭВМ («суперкомпьютеры»), бедственные последствия набегов солитонов можно будет свести к минимуму.
Между прочим, известны случаи, когда «микроцунами» возникали от движения корабля. В начале века, когда стали появляться быстроходные военные суда, их капитаны время от времени сталкивались со «спутной волной», которая образуется при движении судна со скоростью, близкой к . Оторвавшаяся от судна спутная волна и солитон Рассела это одно и то же. Отличие лишь в том, что в мелком канале спутная волна возникает при небольшой скорости движения *). Если судно, образовавшее спутную волну, внезапно замедлит ход или если глубина внезапно изменится, спутная волна оторвется от судна и, отправившись в самостоятельное путешествие, может наделать бед. Один такой несчастный случай, произошедший в 1912 г. в Финском заливе, расследовал академик А. Н. Крылов. Он подробно описал его в своих интереснейших воспоминаниях. К сожалению, Крылов не знал о работах Рассела и Кортевега и де Фриза; подробно изучив это явление, он ограничился лишь выработкой практических рекомендаций для капитанов.
