Александр Филиппов - Многоликий солитон

*) Иногда Ф. Й. Герстнера путают с его сыном, Ф. А. Герстнером, несколько лет жившим в России. Под его руководством в 18З6—18З7 гг. была построена первая в России железная дорога (из Петербурга в Царское Село).

В волне Герстнера (рис. 1.1), которая может образоваться только на «глубокой воде», когда длина волны много меньше глубины сосуда, частицы жидкости движутся по окружностям.

Волна Герстнера — первая изученная волна несинусоидальной формы. Из того, что частицы жидкости движутся по окружностям, можно заключить, что поверхность воды имеет форму циклоиды (от греч. «киклос» — круг и «эйдос» — форма), т. е. кривой, которую описывает какая-нибудь точка колеса, катящегося по ровной дороге. Иногда эту кривую называют трохоидой (от греч. «трохос» — колесо), а волны Герстнера трохоидальными *). Только для очень мелких волн, когда высота волн становится много меньше их длины, циклоида становится похожей на синусоиду, и волна Герстнера превращается в синусоидальную. Хотя при этом частицы воды и мало отклоняются от своих положений равновесия, движутся они все равно по окружностям, а не качаются вверх-вниз, как полагал Ньютон. Надо заметить, что Ньютон ясно сознавал ошибочность такого допущения, но счел возможным воспользоваться им для грубой приближенной оценки скорости распространения волны: «Все происходит таким образом при предположении, что частицы воды поднимаются и опускаются по отвесным прямым линиям, но их движение вверх и вниз на самом деле происходит не по прямой, а вернее по кругу, поэтому я утверждаю, что время дается этим положениям лишь приближенно». Здесь «время» — период колебаний Т в каждой точке; скорость волны υ = λ/Т, где λ — длина волны. Ньютон показал, что скорость волны на воде пропорциональна . В дальнейшем мы увидим, что это правильный результат, и найдем коэффициент пропорциональности, который был известен Ньютону лишь приближенно.

*) Мы будем называть циклоидами кривые, описываемые точками, лежащими на ободе колеса, а трохоидами кривые, описываемые точками между ободом и осью.

Братья Веберы изучают волны

Открытие Герстнера не прошло незамеченным. Надо сказать, что он сам продолжал интересоваться волнами и свою теорию применял для практических расчетов плотин и дамб. Вскоре было положено начало и лабораторному исследованию волн на воде. Это сделали молодые братья Веберы.

Старший брат Эрнст Вебер (1795—1878) сделал впоследствии важные открытия в анатомии и физиологии, в особенности в физиологии нервной системы. Вильгельм Вебер (1804—1891) стал знаменитым физиком и многолетним сотрудником «контроля математиков» К. Гaуссa в исследованиях по физике. По предложению и при содействии Гаусса он основал в Геттингенском университете первую в мире физическую, лабораторию (1831 г.). Более всего известны его работы по электричеству и магнетизму, а также электромагнитная теория Вебера, которая была позднее вытеснена теорией Максвелла. Он одним из первых (1846 г.) ввел представление об отдельных частичках электрического вещества «электрических массах» и предложил первую модель атома, в которой атом уподоблялся планетарной модели Солнечной системы. Вебер также разработал основанную на идее Фарадея теорию элементарных магнитиков в веществе и изобрел несколько физических приборов, которые для своего времени были весьма совершенными.

Эрнст, Вильгельм и младший их брат Эдуард Веберы серьезно заинтересовались волнами. Они были настоящими экспериментаторами, и простые наблюдения над волнами, которые можно видеть «на каждом шагу», их не могли удовлетворить. Поэтому они сделали простой прибор (лоток Веберов), который с разными усовершенствованиями до сих пор используется для опытов с волнами на воде. Построив длинный ящик со стеклянной боковой стенкой и нехитрые приспособления для возбуждения волн, они провели обширные наблюдения различных волн, в том числе и волн Герстнера, теорию которого они таким образом проверили на опыте. Результаты этих наблюдений они опубликовали в 1825 г. в книге под названием «Учение о волнах, основанное на опытах». Это было первое экспериментальное исследование, в котором систематически изучались волны разной формы, скорость их распространения, соотношения между длиной и высотой волны и т. д. Способы наблюдения были очень простые, остроумные и довольно эффективные. Например, для определения формы поверхности волны они опускали в ванну матовую стеклянную пластину. Когда волна доходит до середины пластины, ее быстро выдергивают; при этом передняя часть волны совершенно правильно отпечатывается на пластине. Чтобы наблюдать пути колеблющихся в волне частиц, они заполняли лоток мутной водой из реки Заале и наблюдали движения невооруженным глазом или с помощью слабого микроскопа. Таким способом они определили не только форму, но и размеры траекторий частиц. Так, они обнаружили, что траектории вблизи поверхности близки к окружностям, а при приближении к дну сплющиваются в эллипсы; вблизи самого дна частицы движутся горизонтально. Веберы открыли много интересных свойств волны на воде и других жидкостях. 

О пользе теории волн

Никто не ищи своего, но каждый пользы другого.

Независимо от этого происходила разработка идей Лагранжа, связанная в основном с именами французских математиков Огюстена Луи Коши (1789—1857) и Симона Дени Пуассона (1781—1840). В этой работе принял участие и наш соотечественник Михаил Васильевич Остроградский (1801—1862). Эти знаменитые ученые много сделали для науки, их имена носят многочисленные уравнения, теоремы и формулы. Менее известны их работы по математической теории волн малой амплитуды на поверхности воды. Теорию таких волн можно применять к некоторым штормовым волнам на море, к движению судов, к волнам на отмелях и вблизи волноломов и т. д. Ценность математической теории таких волн для инженерной практики очевидна. Но в то же время математические методы, разработанные для решения этих практических задач, были позже применены и к решению совсем других, далеких от гидромеханики проблем. Мы еще не раз встретимся с подобными примерами «всеядности» математики и практической пользы от решения математических задач, на первый взгляд относящихся к «чистой» («бесполезной») математике.

Здесь автору трудно удержаться от небольшого отступления, посвященного одному эпизоду, связанному с появлением единственной работы Остроградского по теории волн. Эта математическая работа не только принесла отдаленную пользу науке и технике, но и оказала непосредственное и важное влияние на судьбу ее автора, что случается не так уж часто. Вот как излагает этот эпизод выдающийся русский кораблестроитель, математик и инженер, академик Алексей Николаевич Крылов (1863—1945). «В 1815 г. Парижская академия наук поставила теорию волн темою для «Большого приза по математике». В конкурсе приняли участие Коши и Пуассон. Премирован был обширный (около 300 стр.) мемуар Коши, мемуар Пуассона заслужил почетный отзыв… В это же время (1822 г.) М. В. Остроградский, задолжавший вследствие задержки в высылке (из дома) денег содержателю гостиницы, был им посажен в Клиши (долговая тюрьма в Париже). Здесь он написал «Теорию волн в сосуде цилиндрической формы» И послал свой мемуар Коши, который не только одобрил эту работу и представил ее Парижской академии наук для напечатания в ее трудах, но и, не будучи богатым, выкупил Остроградского из долговой тюрьмы и рекомендовал его на должность учителя математики в один из лицеев в Париже. Ряд математических работ Остроградского обратил на него внимание С.-Петербургской академии наук, и в 1828 г. он был избран в ее адъюнкты, а затем и в ординарные академики, имея лишь аттестат студента Харьковского университета, уволенного, не окончив курс».

Добавим к этому, что Остроградский родился в небогатой семье украинских дворян, в 16 лет он поступил на физико-математический факультет Харьковского университета по воле отца, вопреки собственным желаниям (он хотел стать военным), но очень скоро проявились его выдающиеся способности к математике. В 1820 г. он с отличием сдал экзамены на кандидата, однако министр народного просвещения и духовных дел князь А. Н. Голицын не только отказал ему в присуждении степени кандидата, но и лишил ранее выданного диплома об окончании университета. Основанием послужили обвинения его в «безбожии и вольнодумстве», в том, что он «не посещал не только лекции философии, но и богопознания и христианского учения». В результате Остроградский уехал в Париж, где усердно посещал лекции Лапласа, Коши, Пуассона, Фурье, Ампера и других выдающихся ученых. Впоследствии Остроградский стал член-корреспондентом Парижской академии наук, членом Туринской, Римской и Американской академий и т. д. В 1828 г. Остроградский вернулся в Россию, в Петербург, где по личному повелению Николая I был взят под секретный надзор полиции *). Это обстоятельство не помешало, однако, карьере Остроградского, постепенно занявшего весьма высокое положение.