Ричард Фейнман - Фейнмановские лекции по физике 1. Современная наука о природе, законы механики

Тот факт, что ускорение – это скорость изменения вектора скорости, помогает найти ускорение в любых, казалось бы, трудных обстоятельствах. Предположим, например, что частица, двигаясь по какой–то сложной кривой (фиг. 11.7), имеет в момент t1 скорость v1, а несколько позже, в момент t2,скорость v2. Чему равно ускорение? Ответ: ускорение равно разности скоростей, деленной на малый промежуток времени; значит, нужно знать разность скоростей. Как же найти эту разность? Чтобы найти разность двух векторов, проведем вектор через концы векторов v2 и v1, иначе говоря, начертим вектор ? в качестве разности этих двух векторов. Верно? Нет! Мы можем поступать так только тогда, когда начала векторов расположены в одной точке! Вычитать векторы, приложенные к разным точкам, бессмысленно. Остерегайтесь этого! Чтобы вычесть векторы, нужно начертить другую схему. На фиг. 11. 8 векторы v1 и v2 перенесены параллельно и равны их двойникам, изображенным на фиг. 11.7.

Фиг. 11 .7. Криволинейная траектория.

Фиг. 11.8, Диаграмма для вычисления ускорения.

Теперь можно поговорить об ускорении. Ускорение, конечно, просто равно ?v/?t. Интересно заметить, что разность скоростей можно разделить на две части: можно представить себе, что ускорение состоит из двух составляющих: ?v? – вектора, параллельного касательной к пути, и вектора ?v?, перпендикулярного к этой касательной. Эти векторы показаны на фиг. 11.8. Касательное к пути ускорение равно, естественно, лишь изменению длины вектора, т. е. изменению величины скорости v:

a?=dv/dt. (11.15)

Другую, поперечную составляющую ускорения легко вычислить, взглянув на фиг. 11.7 и 11.8. За короткое время ?t изменение угла между v1 и v2 равно малому углу ??. Если величина скорости равна v, то

?v?=v??, а ускорение а равно

а?=v(d?/dt).

Теперь нам нужно знать ??/?t. Эту величину можно найти так: если в данный момент кривую можно приблизительно заменить окружностью радиусом R, то, поскольку за время ?t частица пройдет расстояние s=v?t, изменение угла равно

??=v(?t/R) или ??/?t=v/R.

Таким образом, как мы уже установили ранее,

a=v2/R. (11.16)

§ 7. Скалярное произведение векторов

Давайте еще немного займемся свойствами векторов. Легко понять, что длина шага в пространстве одинакова во всех координатных системах. Следовательно, если какому–то шагу r соответствуют составляющие х, у, z в одной системе координат и составляющие х', у', z' в другой системе, то расстояние r= |r| одно и то же в обеих системах. Сначала мы, конечно, должны ввести два расстояния,

а затем проверить, что эти обе величины равны. Чтобы не возиться с квадратным корнем, будем сравнивать квадраты расстояний. Мы должны, таким образом, показать, что

x2+у2+ z2=x'2+у'2+ г'2. (11.17)

Подставив в это уравнение определяемые соотношением (11.5) значения ж', у', z', мы увидим, что это действительно так. Значит, кроме уже изученных нами векторных уравнений, существуют еще какие–то соотношения, верные в любой системе координат.

Незаметно мы получили новый тип величин. Мы можем построить функцию х, у и z, называемую скалярной функцией, – величину, которая не имеет направления, и одинакова в обеих системах координат. Из вектора можно построить скаляр. Хорошо бы найти общее правило для этого построения. Собственно говоря, мы уже нашли это правило: надо возвести в квадрат каждую из составляющих вектора и сложить их. Определим теперь новую величину, которую обозначим а•а. Это не вектор, а скаляр; это число, одинаковое во всех координатных системах и определяемое как сумма квадратов трех составляющих вектора:

a•a=a2x+ a2y+a2z. (11.18)

Вы спросите: «В какой системе координат?» Но раз это число не зависит от системы координат, то ответ одинаков в любой системе координат. Мы имеем дело с новым видом величины, с инвариантом, или скаляром, полученным «возведением вектора в квадрат». Если теперь определить, исходя из векторов а и b, величину

a•b=axbx+ayby+ azbz, (11.19)

то можно убедиться, что эта величина совпадает в штрихованной и нештрихованной системах координат. Чтобы доказать это, заметим, что это верно для величин а•а, b•b и с•с, где с=а+b. Сумма квадратов (ax+bx)2+(ay+by)2+(az+bz)2 –инвариант:

(аx+bx)2+(аy+by)2+(аz+bг)2 = (аx'+bx')2 + (ay'+bу')2+(az,+bz')2. (11.20)

Раскроем скобки в обеих сторонах этого уравнения. Перекрестные произведения дадут нам выражения типа (11.19), а суммы квадратов составляющих а и b – выражения (11.18). Инвариантность слагаемых типа (11.18) приводит к инвариантности перекрестных произведений типа (11.19).

Величина а•b называется скалярным произведением двух векторов а и b и имеет много интересных и полезных свойств. Например, легко доказать, что

а• (b+c)=а•b+а•с. (11.21)

Есть еще очень простой геометрический способ вычисления а•b, при котором не надо определять составляющих а и b; просто а•b есть произведение длин векторов а и b на косинус угла между ними. Почему? Предположим, что мы выбрали такую систему координат, в которой вектор а направлен вдоль оси х; в этом случае вектор а имеет единственную ненулевую составляющую ах, которая равна длине вектора а. Таким образом, уравнение (11.19) сводится в этом случае к a•b=axbx, что равно произведению длины вектора а на составляющую вектора b по направлению а, которая в свою очередь равна bcos?, т. е.

а•b=abcos?.

Таким образом, в этой частной системе координат мы доказали, что a•b равно произведению длин векторов а и b на косинус угла между ними 9. Но если это верно в одной системе координат, то это верно и во всех системах, потому что а•b не зависит от выбора системы координат.

Что хорошего может дать нам эта новая величина? Нужно ли физику скалярное произведение? Да, оно необходимо ему постоянно. Например, в гл. 4 мы назвали кинетической энергией величину 1/2mv2, но если частица движется в пространстве, то нужно возвести в квадрат отдельно составляющие скорости х, у и z, так что формулу для кинетической энергии можно записать в виде

к.э.=1/2m(v•v)=1/2m(v2x+ v2y+v2z). (11.22)

Энергия не имеет направления. Импульс же направление имеет, это – вектор, и он равен произведению массы на вектор скорости.

Другим примером скалярного произведения может служить работа, произведенная силой при перемещении какого–нибудь предмета с одного места на другое. Мы еще не дали определения работы, она равна изменению энергии, прибавке в весе, после того как сила F поработает вдоль пути s:

Работа=F•s. (11.23)

Иногда целесообразно говорить о составляющей вдоль определенного направления (например, вдоль вертикали, потому что это направление силы тяжести). Для этого удобно ввести единичный вектор вдоль интересующего нас направления. Под единичным вектором мы будем понимать вектор, скалярное произведение которого на себя равно единице. Пусть это будет вектор i; тогда i•i=l. Скалярное произведение i•a равно acos?, т. е. оно равно составляющей вектора а вдоль направления i. Это наилучший способ получить составляющую вектора. Поступая так, мы можем найти все составляющие вектора и получить забавную формулу.