По ту сторону кванта - Пономарев Леонид Иванович

Эту неопределённую идею Шрёдингеру удалось выразить весьма точно на однозначном языке формул. Уравнение Шрёдингера, как и всякий глубокий закон природы, нельзя вывести строго из более простых. Его можно только угадать. Шрёдингер так и сделал, и впоследствии признавался, что сам не вполне понимает, как это ему удалось. Но после того как уравнение угадано, надо ещё научиться им пользоваться: надо знать, что означают все символы в уравнении и какие явления в атоме они отображают.

Уравнение Шрёдингера

(d2ψ)/(dx2) + (2m/ħ2)∙[E − U(x)]ψ = 0

мы уже приводили однажды и объясняли смысл входящих в него символов: ħ — постоянная Планка h, делённая на 2π, m — масса электрона, E — полная энергия электрона в атоме a U(x) — его потенциальная энергия, которая показывает, с какой силой притягивался бы электрон к ядру, если бы он был частицей и находился от него на расстоянии x. Но нам по-прежнему неясен смысл волновой функции пси (ψ). Чтобы ронять его, обратимся снова к аналогии с колеблющейся струной.

Её уравнение

(d2U)/(dx2) + (2π/λ)2∙U = 0

очень похоже на уравнение Шрёдингера. Несколько решений уравнения струны, функции U=Uk(x), изображено на рисунке. Это обычные, знакомые всем синусоиды, и смысл их очевиден: они изображают форму струны в какой-то момент времени, то есть моментальную фотографию процесса её колебания. Форма колебаний струны зависит от числа узлов k — точек, остающихся неподвижными в процессе колебания. Поэтому существует бесконечно много решений U=Uk(x), которые различаются между собой числом узлов k.

Теперь взгляните на рисунок, где рядом с синусоидами струны Uk(x) изображены решения ψ=ψn(x) уравнения Шрёдингера для атома водорода. Они очень похожи. И если даже никаких реальных колебаний, подобных движениям струны, в атоме не происходит, то аналогия не становится от этого менее полезной.

Отмеченная аналогия позволяет пронумеровать решения ψn(x) целым числом n точно так же, как решения Uk(x) нумеруются целым числом k. Более того, оказалось, что целое число n — это и есть то самое непонятное квантовое число, которым Бор нумеровал орбиты электрона в атоме. Теперь оно потеряло свой мистический оттенок: n — не что иное, как число узлов волновой функции, увеличенное на единицу (n=k+1).

Первый постулат Бора неким «усилием воли» предписывал электронам двигаться только по тем орбитам в атоме, которые удовлетворяют квантовому условию:

m∙v∙r=n∙(h/2π)

Это был плодотворный, но неестественный для физики принцип, и потому он вызвал у современников сложную смесь восхищения и недовольства. Требование Шрёдингера значительно естественнее: как бы хитро ни двигался электрон в атоме, он должен всё-таки находиться внутри атома. Поэтому ψ-функция, которая это движение «представляет», независимо от своей природы должна быть сосредоточена вблизи ядра. Это единственное граничное условие позволило вывести из уравнения Шрёдингера всё: условия квантования Бора, энергию электрона на стационарных орбитах, смысл квантовых чисел.

В своё время эти следствия теории Шрёдингера покорили многих своей простотой. В уравнение Шрёдингера поверили и стали выяснять последнее: что представляет собой сама функция ψ.

И если функция Uk(x) изображает форму колеблющейся струны, то что изображает ψ?

ФОРМУ ЧЕГО ИЗОБРАЖАЕТ Ψ-ФУНКЦИЯ

Это один из самых сложных вопросов квантовой механики, на который даже сам Шрёдингер вначале ответил неправильно. Но его ответ так удобен и так близок к истине, что мы им на первых порах воспользуемся. Вот он.

Электрон в атоме не существует как частица. Он расплывается там в некое облако. Форма и плотность этого облака определяется волновой функцией Ψ(x), причём на расстоянии x от ядра плотность ρ(x) электронного облака равна квадрату этой функции:

ρn(x) = |ψn(x)|2

Чтобы пояснить эту мысль, вспомним тот самый арбуз, с которого мы когда-то начали рассказ о квантовой механике, и попытаемся на рисунке изобразить его плотность ρ(x) в зависимости от расстояния x до центра арбуза. Очевидно, что функция ρ(x) для арбуза везде примерно постоянна, она лишь несколько возрастает к краям из-за косточек и кожуры и, наконец, резко обрывается на границе арбуза. Взглянув на наш рисунок, человек, даже ни разу не видавший арбуза, может схематически представить себе, как устроен арбуз внутри. Правда, при этом он не будет иметь ни малейшего представления о его вкусе, цвете и аромате, а также о тысяче мелких признаков, которые отличают один арбуз от другого.

Пытаясь проникнуть внутрь атома, все мы оказываемся в положении человека, который никогда в жизни арбуза не видел, но хочет представить его себе по функции ρ(x). Для атома функцию ρ(x) вычисляют из уравнения Шрёдингера и затем с её помощью рисуют распределение электронного облака в атоме. Эти картины заменяют нам тот зрительный образ атома, к которому все мы бессознательно стремимся.

На страницах 208 и 209 представлены объёмные изображения атома водорода, построенные по функциям ρn(x), которые вычислены из уравнения Шрёдингера. Это и есть тот новый образ атома, к которому мы так долго шли и к которому теперь надо привыкать, В дальнейшем построенный образ изменится лишь немного — точнее, даже не сам он, а наше отношение к нему.

Теперь всё самое сложное позади, и мы можем не торопясь подвести итоги. Прежде всего — и теперь уже на новом уровне — мы вновь обратимся к вопросу: «Что такое атом?»

АТОМ

Вспомните модель Томсона: большой положительный шар, и в нём плавают маленькие отрицательные электроны.

В действительности всё оказалось наоборот: в центре атома расположено очень маленькое положительное ядро, окружённое отрицательным облаком электрона. Форма этого облака непроизвольна — она определяется строгими законами квантовой механики. Конечно, это не шарик с резкими границами, но в целом невозбуждённый атом водорода очень похож на шар (его Демокрит угадал правильно).

Однако форма возбуждённых атомов уже отличается от сферической и тем больше, чем сильнее возбуждён атом.

Возбуждая атом, мы затрачиваем энергию как раз на перестройку его электронного облака. Каждой форме облака соответствует своя вполне определённая энергия. Поэтому, чтобы перевести атом из одной формы в другую, мы должны затратить строго отмеренное количество энергии — квант h∙ν, как того и требовал второй постулат Бора.

До сих пор мы сознательно говорили только об атоме водорода. По существу, это единственный атом который физик знает сейчас во всех деталях и может представить себе его правдоподобный образ. Теперь это более или менее очевидно всем. Но в первые годы после создания квантовой механики энтузиазм победителей был так велик, что они начисто забыли о прародительнице атома — химии. «С точки зрения физика химии не существует», — заявляли самые увлечённые из них. — «Дайте нам заряд ядра, и мы оденем его шубой из электронов так, что этот построенный нами атом нельзя будет отличить от настоящего».