Ричард Фейнман - 6a. Электродинамика

(22.15)

Сумма токов, входящих в узел, состоящий из четырех выводов е, f, g, h, тоже должна быть равна нулю:

(22.16)

Ясно, что это то же самое уравнение, что и (22.15). Оба эти уравнения не независимы. Общее правило гласит, что сумма то­ков, втекающих в любой узел, обязана быть равна нулю:

(22.17)

Наше прежнее заключение о том, что сумма падений напря­жений вдоль замкнутого контура равна нулю, должно выпол­няться для каждого контура сложной цепи. Точно так же наш результат, что сумма сил токов, втекающих в узел, равна нулю, тоже должен выполняться для любого узла. Эти два уравнения известны под названием пра­вил Кирхгофа.

Фиг, 22.10. Сумма токов, вхо­дящих в любой узел, равна нулю.

Фиг. 22.11. Анализ цепи с помощью правил Кирхгофа.

С их помощью можно найти силы токов и напряжения в какой угодно цепи.

Рассмотрим, например, цепь посложнее (фиг. 22.11). Как определить токи и напряжения в ней? Прямой путь решения таков. Рассмотрим каждый из четырех вспомогательных контуров цепи. (Скажем, один контур проходит через клеммы а, b, е, d и обратно к а.) Для каждого замкнутого контура напишем уравнение первого правила Кирхгофа — сумма падений напряжения вдоль вся­кого контура равна нулю. Нужно помнить, что падение напряжения считается положительным, если направление об­хода совпадает с направлением тока, и отрицательным, если на­правление обхода противоположно направлению тока; и надо еще помнить, что падение напряжения на генераторе равно от­рицательному значению э.д.с. в этом направлении. Так что для контура abeda получается

z1I1+ z3I3+z4I4-e1=0.

Прилагая те же правила к остальным контурам, получим еще три сходных уравнения.

После этого нужно написать уравнения для токов в каждом узле цепи. Например, складывая все токи в узле b, получаем

I1-I3-I2=0.

Аналогично, в узле е уравнение для токов принимает вид

I3-I4+I8-I5=0.

В изображенной схеме таких уравнений для токов пять. Ока­зывается, однако, что любое из этих уравнений можно вывести из остальных четырех, поэтому независимых уравнений только четыре. Итого в нашем распоряжении восемь независимых ли­нейных уравнений: четыре для напряжений, четыре для токов. Из них можно получить восемь независимых токов. А если станут известны токи, то определится и вся цепь. Падение напряжения на любом элементе дается током через этот элемент, умноженным на его импеданс (а для источников напряжения они вообще известны заранее).

Мы видели, что одно из уравнений для тока зависит от ос­тальных. Вообще-то уравнений для напряжения тоже можно написать больше, чем нужно. Хотя в схеме фиг. 22.11 и рас­сматривалась только четверка самых маленьких контуров, но ничего не стоило взять другие контуры и выписать для них уравнения для напряжений. Можно было взять, скажем, путь abcfeda. Или сделать обход по пути abcfehgda. Вы видите, что контуров — множество. И, анализируя сложные схемы, ничего не стоит получить слишком много уравнений. Но хоть есть пра­вила, которые подсказывают, как надо поступать, чтобы вышло наименьшее количество уравнений, обычно и так бывает сразу понятно, как выписать нужное число простейших уравнений. Кроме того, одно-два лишних уравнения вреда не приносят. К неверному ответу они не приведут, разве только немного запу­тают выкладки.

В гл. 25 (вып. 2) мы показали, что, если два импеданса z1 и z2 соединены последовательно, они эквивалентны одиночному импедансу zs, равному

zs = zl + z2. (22.18)

Кроме того, было показано, что, когда два импеданса соединены параллельно, они эквивалентны одиночному импедансу zp , равному

(22.19)

Если вы теперь оглянетесь назад, то увидите, что, выводя эти результаты, на самом деле вы пользовались правилами Кирх­гофа. Часто можно проанализировать сложную схему, повторно применяя формулы для последовательного и параллельного импедансов.

Фиг. 22.12, Цепь, которую мож­но проанализировать с помощью последовательных и параллель­ных комбинаций.

Фиг. 22,13. Цепь, кото­рую нельзя проанализи­ровать с помощью последовательных и параллельных комбинаций.

Скажем, таким способом можно проанализировать схему, показанную на фиг. 22.12. Импедансы z4 и z5 можно заменить их параллельным эквивалентом, то же можно сделать с импедансами z6 и z7. Затем импеданс z2 можно скомбинировать с параллельным эквивалентом z6 и z7, по правилу последова­тельного соединения импедансов. Так постепенно можно свести всю схему к генератору, последовательно соединенному с одним импедансом Z. И тогда ток через генератор просто равен e/Z. А действуя в обратном порядке, можно найти токи в каждом импедансе.

Однако бывают совсем простые схемы, которые этим методом не проанализируешь. Например, схема фиг. 22.13. Чтобы проанализировать эту цепь, надо расписать уравнения для токов и напряжений по правилам Кирхгофа. Давайте проделаем это. Имеется только одно уравнение для токов:

I1 + I2 + I3=0, откуда

I3=-(I1+I2).

Выкладки можно сэкономить, если этот результат сразу же подставить в уравнения для напряжений. В этой схеме таких уравнений два:

-El + I2z2-Ilzl=0 и Ј2-(Il + I2)z3-I2z2=0.

На два уравнения приходится два неизвестных тока. Решая их, получаем 11и I2:

(22.20)

и

(22.21)

А третий ток получается как сумма первых двух.

Вот еще пример цепи, которую по правилам параллель­ных и последовательных импедансов рассчитывать нельзя

Фиг. 22.14. Мостиковая схема.

(фиг. 22.14). Такую схему на­зывают «мостик». Она встре­чается во многих приборах, измеряющих импедансы. В таких схемах обычно инте­ресуются таким вопросом:

как должны соотноситься различные импедансы, чтобы ток че­рез импеданс zsбыл равен нулю? Вам предоставляется право найти те условия, при которых это действительно так,

§ 4. Эквивалентные контуры

Положим, мы подключили генератор Ј к цепи, в которой есть множество сложных переплетений импедансов (схематиче­ски это показано на фиг. 22.15, а). Все уравнения, вытекающие из правил Кирхгофа, линейны, и поэтому, вычислив из них ток I через генераторы, мы получим величину I, пропорциональную e. Можно написать

где теперь zэфф— это некоторое комплексное число, алгебраиче­ская функция всех элементов цепи. (Если в цепи нет никаких

генераторов, кроме упомянутого, то в формуле не будет добавочной части, не зависящей от e.) Но получившееся уравнение — это как раз то, которое нужно было бы написать для схемы фиг. 22.15, б. И покуда нас интересует только то, что происходит слева от за­жимов а и b, до тех пор обе схемы фиг. 22.15 эквивалентны.

Фиг. 22.15. Любая сеть пассивных элементов с двумя выводами эквивалентна эффективному импедансу.

Фиг. 22.16. Любую сеть с двумя выводами можно заменить генератором, последовательно соединенным с импедансом.

И поэтому можно сделать общее утверждение, что любую цепь пассивных элементов с двумя выводами можно заменить одним-единственным импедансом zэфф не изменив в остальной части цепи ни токов, ни напряжений. Утверждение это, естественно, всего лишь мелкое замечание о том, что следует из правил Кирхгофа, а в конечном счете — из ли­нейности уравнений Максвелла.

Идею эту можно обобщить на схемы, в которые входят как генераторы, так и импедансы. Представьте, что мы глядим на эту схему «с точки зрения» одного из импедансов, который мы обозначим zn (фиг. 22.16, а). Если бы решить уравнение для то­ка, мы бы увидели, что напряжение Vnмежду зажимами а и b есть линейная функция I, которую можно записать в виде

(22.22)

Здесь А и В зависят от генераторов и импедансов в цепи слева от зажимов. Например, в схеме, показанной на фиг. 22.13, мы находим V1=I1zl. Это можно переписать [используя (22.20)] в виде