Ричард Фейнман - Фейнмановские лекции по физике 1. Современная наука о природе, законы механики
При этом абсолютная величина равна
Теперь пусть под действием силы меняется не только величина, но и направление скорости (фиг. 9.2). Хотя это довольно сложный случай, но с помощью подсчета изменения компонент его рассмотрение сильно упрощается. Изменение x–компоненты скорости за интервал ?t будет ?vx=ax?t, где ах то, что называется x–компонентой ускорения. Совершенно аналогично ?vx =aу?t и Дvz=at?t. В такой формулировке Второй закон Ньютона фактически превращается в три закона. Действительно, мы говорим, что сила имеет то же направление, что и ускорение, так что каждая из составляющих силы в направлениях х, у и z равна массе, умноженной на изменение соответствующей компоненты скорости:
Подобно скорости и ускорению, сила тоже может быть разложена на компоненты, причем каждая из них является проекцией отрезка прямой, численно равного абсолютной величине силы и указывающего направление ее действия, на оси х, у и z:
где F – абсолютная величина силы, a (xF), (yF) и (zF)– углы между направлением силы и осями х, у и z соответственно.
Уравнения (9.7) представляют собой полную форму Второго закона Ньютона. Зная силы, действующие на тело, и разлагая их на компоненты, можно с помощью этих уравнений найти движение тела. Давайте рассмотрим простой пример. Пусть в направлениях х и у не действуют никакие силы, а есть сила только в направлении z (скажем, вертикально). Тогда, согласно уравнению (9.7), изменяется только одна вертикальная составляющая скорости; что же касается горизонтальных, то они будут оставаться неизменными. Пример такого движения уже рассматривался в гл. 7 (см. фиг. 7.3). Таким образом, горизонтальное движение падающего тела остается неизменным, тогда как в вертикальном направлении оно движется так, как будто никакого горизонтального движения вообще нет. Другими словами, если компоненты сил не связаны друг с другом, то и движения в направлениях осей х, у и z будут независимы.
§ 3. Что такое сила?
Чтобы пользоваться законами Ньютона, мы должны иметь какую–то формулу для сил; ведь эти законы говорят нам: подумайте о силах. Если тело ускоряется, стало быть, на него что–то действует. А как найти это «что–то»? Нашей программой на будущее должно быть отыскание законов для сил. Некоторые из таких законов были найдены самим Ньютоном. Например, формула для силы тяготения. Часть сведений о силах другого рода содержится в Третьем законе, который утверждает равенство сил действия и противодействия, но об этом более подробно пойдет речь в следующей главе.
Продолжим наш предыдущий пример. Что за силы действуют на тело вблизи поверхности Земли? Это – сила тяжести, направленная вертикально вниз, пропорциональная массе тела и для высот, много меньших, чем радиус Земли R, почти не зависящая от высоты; она равна F=GmM/R2=mg, где g=GM/R2– так называемое ускорение силы тяжести. В горизонтальном направлении тело по–прежнему будет двигаться с постоянной скоростью, однако движение в вертикальном направлении более интересно. По Второму закону Ньютона
После сокращения массы m получаем, что ускорение в направлении х постоянно и равно g. Это хорошо известное движение свободно падающего тела, которое описывается уравнениями
Рассмотрим другой пример. Представим, что мы смогли создать устройство (фиг. 9.3), в котором сила прямо пропорциональна отклонению от положения равновесия и направлена противоположно ему, – это пружина с грузиком.
Фиг. 9.3. Грузик на пружинке.
Действительно, поскольку сила тяжести компенсируется начальным натяжением пружины, то имеет смысл говорить только об избыточной силе. Если потянуть грузик вниз, то пружина растянется и потянет его вверх, если же толкать грузик вверх, то пружина сожмется и будет толкать его вниз. При этом все устроено таким образом, что чем больше сила и чем сильнее мы оттягиваем грузик вниз, тем больше растягивается пружина и тем сильнее она тянет его вверх, и наоборот. Наблюдая за работой этого устройства, мы видим довольно интересное движение: вверх – вниз, вверх – вниз… Возникает вопрос, могут ли уравнения Ньютона правильно описать его? Если применить закон Ньютона (9.7) для такого периодического осциллятора, то получим следующее уравнение:
т. е. здесь мы встречаемся с таким положением, когда x–компонента скорости изменяется с быстротой, пропорциональной х. Нет смысла сейчас вводить многочисленные константы; в целях простоты предположим, что либо изменился масштаб времени, либо что–то произошло с другими единицами измерения, словом, они выбраны так, что klm равно единице. Итак, будем пытаться решать уравнение
Чтобы пойти дальше, нужно сначала разобраться в том, что такое vx; то, что это быстрота изменения положения, нам, разумеется, уже известно.
§ 4. Смысл динамических уравнений
Попытаемся теперь понять, что же означает уравнение (9.12). Пусть в данный момент времени t тело находится в точке х и движется со скоростью vx. Каково будет его положение и скорость спустя небольшой промежуток времени, т. е. в момент t+?? Если мы сможем ответить на этот вопрос, то проблема решена, так как, исходя из начальных условий, т. е. положения и скорости в некоторый начальный момент времени, можно сказать, как они изменяются в первый момент, а зная положение и скорость в первый момент, можно найти их и в следующий и т. д. Таким образом, шаг за шагом выстраивается вся картина движения. Для большей определенности предположим, что в момент t=0 положение грузика х=1, а его скорость vx=0. Почему вообще движется грузик? Да потому, что на него в любом положении, за исключением положения равновесия х=0, действует сила. Если х>0, то эта сила направлена вверх. Следовательно, скорость, которая вначале была нулем, благодаря уравнениям движения начинает изменяться. Но как только скорость начинает возрастать, грузик приходит в движение. Для любого момента времени t при очень малом е можно с достаточно хорошей точностью найти положение в момент t+е через скорость и положение в момент t:
x(t+?)=x(t)+ ?vx(t). (9.13)
Конечно, это выражение тем точнее, чем меньше ?, но оно может быть достаточно точным, даже когда интервал ? не исчезающе мал. Что теперь можно сказать о скорости? Чтобы определить скорость в момент t+?, очевидно, нужно знать, как она изменяется со временем, т. е. нужно знать ускорение. А как узнать его? Вот здесь–то нам на помощь приходят уравнения динамики. Именно они позволяют определить, чему равно ускорение. В нашей задаче уравнение динамики говорит, что ускорение равно–x. Поэтому
vx(t+?)=vx(t)+ ?ax(t), (9.14)
= vx(t)- ?x(t). (9.15)
Уравнение (9.14) еще кинематическое; оно просто говорит о том, что из–за наличия ускорения скорость изменяется. Однако уравнение (9.15) уже динамическое, потому что оно связывает ускорение с силой. Оно говорит, что в данной частной задаче для данного момента времени ускорение можно заменить на–х(t). Следовательно, если в какой–то момент времени нам известны положение х и скорость vx, то мы знаем и ускорение, которое дает возможность найти скорость в следующий момент, а скорость в свою очередь определяет новое положение и т. д. Вот каким образом действует весь этот динамический механизм! Действующая сила немного изменяет скорость, а скорость приводит к небольшому изменению положения.
§ 5. Численнов решение уравнений
Давайте теперь действительно решим нашу задачу. Допустим, что мы взяли ?=0,100 сек. (Если после того, как мы проделаем все вычисления, окажется, что этот интервал не достаточно мал, то необходимо повторить все сначала с меньшим интервалом времени, например 0,010 сек.) Чему будет равно х(0,1), если в начальный момент времени х (0) = 1? Оно равно старому положению х(0) плюс скорость в начальный момент (которая равна нулю), умноженная на 0,10 сек. Таким образом, х(0,1) равно 1,00, ибо грузик еще не начал двигаться. Но новая скорость в момент 0,10 сек будет равна старой скорости v (0)=0 плюс ?, умноженное на ускорение. А само ускорение равно–х(0)=-1,00. Так что
v(0,1)=0,00+0,10•1,00=-0,10. В момент 0,20 сек
х(0,2)=х(0,1)+?v(0,1)=1,00–0,10•0,10=0,99
и
v(0,2)=v(0,1)+ ?a(0,1) =-0,10–0,10•1,00 =-0,20.
Продолжая эту процедуру еще и еще, можно найти положение и скорость в любой момент времени, а это как раз то, что нам нужно. Однако практически мы используем нехитрый прием, который позволит увеличить точность вычислений. Если бы мы продолжали начатые нами расчеты, то они оказались бы довольно грубыми, поскольку интервал ?=0,10 сек довольно большой. Пришлось бы уменьшить его, скажем, до 0,01 сек. Но тогда, чтобы проследить движение за какой–то разумный отрезок времени, потребовалось бы сделать множество шагов. Мы же организуем процесс таким образом, что сможем увеличить точность, используя тот же интервал ?=0,10 сек. Этого можно достичь, несколько изменив метод расчета.
