Ричард Фейнман - 6. Электродинамика

Предположим, что мы начали с того, что взяли элементы объема DVi некоторой толщины w, много меньшей а.

Отдельные элементы объема будут выглядеть так, как по­казано на фиг. 21.7, а. Их нарисовано гораздо больше, чем нужно, чтобы закрыть весь заряд. А сам заряд не показан, и по весьма существенной причине. Где его нужно нарисовать? Ведь для каждого элемента объема DVi надо брать r в свой момент t~(t-r/с). Но раз заряд движется, то для каждого элемента объема DVi он окажется в другом месте!

Начнем, скажем, с элемента объема 1 на фиг. 21.7, а, выбранного так, чтобы в момент tl = (t-r1/с) «задняя» грань заряда пришлась на DVi (фиг, 21.7, б).

Фиг. 21.6, Элемент объема DVi, используемый для вычисления потенциалов.

Фиг. 21.7. Интегрирование r(t-r'/c)dV для движущегося заряда.

Тогда, вычисляя r2DV2, нужно взять положение заряда в несколько более позд­нее время t2=(t- r2/c) и заряд к этому времени сместится в по­ложение, показанное на фиг. 21.7, в. Так же будет с DV3, DV4 и т. д. Вот теперь можно подсчитывать сумму.

Толщина каждого DVi- равна w, а объем wa2. Поэтому каж­дый элемент объема, накладывающийся на распределение заряда, содержит в себе заряд wa2r, где r — плотность заряда внутри куба (мы считаем ее однородной). Когда расстояние от заряда до точки (1) велико, то можно все ri в знаменателях по­ложить равными некоторому среднему значению, скажем, взятому с учетом запаздывания положению r' центра куба. Сумма (21.30) превращается в

где DVN—тот последний элемент DVi, который еще накла­дывается на распределение зарядов (см. фиг. 21.7, д). Сумма тем самым равна

Но ra3 — просто общий заряд q, a Nw—длина b, показанная на фиг. 21.7, д. Получается

(21.31)

А чему же равно b? Это длина куба зарядов, увеличенная на расстояние, пройденное зарядом за время от t1=(t-r1/с) до tN=(t—rN/с). Это расстояние, пройденное зарядом за время

А поскольку скорость заряда равна v, то пройденное рас­стояние равно vDt = vb/c. Но длина b — само это расстояние плюс a:

Отсюда

Здесь, конечно, под v подразумевается скорость в «запазды­вающий» момент t' = (t-r'/с); это можно указать, записав [1—v/c]зап; тогда уравнение (21.23) для потенциала прини­мает вид

Это согласуется с тем, что было предположено в (21.29). Поя­вился поправочный множитель. Он появился потому, что в то время, как наш интеграл «проносится над зарядом», сам заряд движется. Когда заряд движется к точке (1), его вклад в ин­теграл увеличивается в b/а раз. Поэтому правильное значение интеграла равно q/r', умноженному на b/а, т.е. на 1/[1—v/c]зan.

Если скорость заряда направлена не к точке наблюдения (1), то легко видеть, что важна только составляющая его скорости в направлении к точке (1). Если обозначить эту составляющую скорости через vr, то поправочный множитель запишется в виде 1/[1-vr/с]зап. Кроме того, проделанный нами анализ в равной степени проходит для распределения заряда любой формы (это не обязательно должен быть куб). Наконец, поскольку «раз­мер» а заряда не вошел в окончательный итог, то тот же резуль­тат получится, если заряд стянется до любых размеров, вплоть до точки. Общий результат состоит в том, что скалярный потен­циал точечного заряда, движущегося с произвольной скоростью,

(21.32)

Это уравнение часто пишут в эквивалентном виде:

(21.33)

где r — вектор, соединяющий заряд с той точкой (1), в кото­рой вычисляется потенциал j, а все величины в скобках надо вычислять в «запаздывающий» момент времени t'=(t—r'/c).

То же самое получается и тогда, когда по (21.16) вычисляют А для точечного заряда. Плотность тока равна rv, а интеграл от r — тот же, что и в j. Векторный потенциал равен

(21.34)

Потенциалы точечного заряда в этой форме были впервые получены Льенаром и Вихертом. Их так и называют: потенциалы Льенара — Вихерта.

Чтобы замкнуть круг и вернуться к формуле (21.1), теперь нужно только подсчитать Е и В из этих потенциалов (при помо­щи B=СXA и Е=-Сj-dA/dt). Теперь остается одна арифме­тика. Впрочем, арифметика эта довольно запутанна, так что мы не будем приводить здесь детали счета. Придется поверить мне на слово, что формула (21.1) эквивалентна выведенным нами потенциалам Льенара — Вихерта.

*Если у вас достаточно времени и вам не жаль бумаги, то попытай­тесь проделать это самостоятельно. Вот вам парочка советов: во-первых, не забывайте, что производные r' довольно запутанны, ведь они суть функции от t'! Во-вторых, не пытайтесь вывести формулу (21.1); лучше проделайте в ней все дифференцирования и затем сопоставьте то, что у вас получится, с выражением для Е, полученным из потенциалов (21.33) и (21.34).

§ 6. Потенциалы заряда, движущегося с постоянной скоростью; формула Лоренца

Применим теперь потенциалы Льенара — Вихерта к случаю заряда, движущегося по прямой с постоянной скоростью, и вычислим поле этого заряда. Позже мы повторим этот вывод, используя уже принцип относительности. Мы знаем величину потенциалов в той системе, в которой заряд покоится. Когда заряд движется, то все получается простым релятивистским преобразованием от одной системы к другой. Но теория отно­сительности ведет свое начало от теории электричества и магне­тизма. Формулы преобразований Лоренца [см. гл. 15 (вып. 2)]— это открытия, сделанные Лоренцем при исследовании уравне­ний электричества и магнетизма. И для того чтобы вы понимали, откуда все пошло, я хочу показать вам, что уравнения Максвелла действительно приводят к преобразованиям Лоренца. Я начну с вычисления потенциала равномерно движущегося заряда прямо из электродинамики, из уравнений Максвелла. Мы уже показали, что уравнения Максвелла приводят к потен­циалу, полученному в предыдущем параграфе. Стало быть, пользуясь этими потенциалами, мы используем тем самым тео­рию Максвелла.

Пусть имеется заряд, движущийся вдоль оси х со скоростью v (фиг. 21.8). Нас интересуют потенциалы в точке Р(х, у, z). Если (=0 — момент, в который заряд проходит через начало координат, то в момент t заряд окажется в точке x—vt, y=z=0. А нам нужно знать его положение с учетом запаздывания, т. е. положение в момент

(21.35)

где r' — расстояние от заряда до точки Р в этот запаздываю­щий момент. В это более раннее время t' заряд был в x=vt', так что

(21.36)

Чтобы найти r' или t', это уравнение надо сопоставить с (21.35). Исключим сперва r', решив (21.35) относительно r' и подставив в (21.36). Возвысив затем обе части в квадрат,

т. е. квадратное уравнение относительно t'. Раскрыв скобки и расположив члены по степеням t', получим

Фиг. 21.8. Определение потенциала в точке Р заряда, движущегося равномерно вдоль оси х.

Отсюда найдем

Чтобы получить r', надо это t' подставить в

Теперь мы уже можем найти j из выражения (21.33), имеющего вид

(21.38)

(ввиду того, что v постоянно).

Составляющая v в направлении r' равна v(x-vt')/r', так что v·r' просто равно v(x-vt'), а весь знаменатель равен

Подставляя (1-v2/c2)t' из (21.37), получаем

Это уравнение становится более понятным, если переписать его в виде

Векторный потенциал А — это такое же выражение, но с до­бавочным множителем v/c2: