Яков Гегузин - Живой кристалл
Осуществить модель БНЛ просто. Для этого нужно совсем элементарное оборудование: тарелка, игла от медицинского шприца, волейбольная камера и зажим, которым можно было бы с различной силой сжимать резиновую трубку-отросток волейбольной камеры. Тарелку надо почти доверху заполнить мыльной водой и добавить в нее несколько капель глицерина, для того чтобы пузырьки, которые мы будем выдувать на поверхности мыльной воды, получились устойчивыми. Надуть волейбольную камеру, зажать ее отросток и вставить в него иглу от шприца. Разумеется, тупым концом. Если поместить иглу под поверхность воды и немного ослабить зажим, из иглы одна за другой начнут выходить строго одинаковые порции воздуха, которые будут превращаться в столь же одинаковые мыльные пузырьки. В этом очерке — рассказ о взаимодействии между пузырьками, моделирующими атомы. О взаимодействии между атомами, составляющими кристалл, — в следующем.
Мыльные пузырьки не безучастны друг к другу. Два разобщенных мыльных пузыря на поверхности воды друг к другу притягиваются, а соприкоснувшись — отталкиваются друг от друга.
Попытаемся понять происхождение силы притяжения. Бесспорно следующее утверждение: сила появляется вследствие того, что сближение пузырьков сопровождается уменьшением связанной с ними избыточной энергии.
Поначалу хочется предположить, что эта энергия связана с поверхностью пузырей. Логика это желание легко подавит, подсказав, что поверхностная энергия не уменьшается при сближении пузырьков, а значит, их сближение окажется неоправданным. Есть, однако, иное слагаемое избыточной энергии совокупности двух пузырьков, которое оказывается зависящим от расстояния между ними. Дело в том, что каждый из пузырьков окружен областью, где уровень воды поднят над ее средним уровнем в сосуде. И следовательно, потенциальная энергия системы увеличена тем больше, чем большая масса воды и на бо́льшую высоту поднята. Степень поднятия убывает по мере удаления от центра пузырька. Если пузырьки удалены друг от друга на расстояние не очень большое, при котором области поднятия жидкости вокруг каждого из пузырьков частично перекрываются, их сближение оказывается выгодным, так как при этом уменьшается масса поднятой жидкости и, следовательно, связанная с ней избыточная потенциальная энергия. Приводимые рисунки качественно это поясняют.
После того, как пузырьки соприкоснутся, прижимающая их сила увеличит давление заключенного в них газа и, следовательно, возникнет сила отталкивания. Обе силы — и притяжения, и отталкивания — нами найдены.
Итак, мы познакомились с моделью БНЛ: двумерный плот из огромного количества одинаковых мыльных пузырьков, взаимодействие между которыми не заморожено и отражает притяжение и отталкивание между атомами в реальных кристаллах.
В модели БНЛ нет пространственной периодичности реальных структур, двумерный плот может иметь только структуру плотной упаковки, подобную паркету, выложенному из шестигранных плит. Это — недостатки модели. Им противостоит огромное достоинство — в ней моделируется взаимодействие между элементами, составляющими кристалл.
Не будем упрекать модель в ее слабостях — и о которых упомянули, и о которых умолчали. Будем ей благодарны за ее сильные стороны.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ АТОМАМИ
По свежему следу предыдущего очерка воспользуемся моделью БНЛ для разговора о реальном взаимодействии между атомами, образующими кристалл.
Нам уже известно, что взаимодействие, т. е. конкуренция сил притяжения и отталкивания между атомами, обусловливает существование определенного расстояния l0 между ними. Уточним наше понимание «взаимодействия», проследив зависимость энергии этого взаимодействия W от расстояния l между атомами. Качественно ясно, что, если бы нам удалось атомы удалить друг от друга на бесконечное расстояние, энергия их взаимодействия стала бы равной нулю. Попросту говоря, бесконечно удаленные атомы друг о друге не осведомлены и поэтому между собой не взаимодействуют. Качественно ясно, что, как бы мы ни старались насильно сблизить соседние атомы, совместить их мы никогда не cможем, а это означает, что по мере уменьшения расстояния между атомами до нуля энергия отталкивания между ними должна стремиться к бесконечности. Собственно, при очень большом сжимающем давлении атомы могут «раздавливаться». Именно это и происходит, когда под давлением в миллионы атмосфер кристалл водорода металлизируется: раздавленные атомы водорода свой «личный» электрон отдают в коллективное пользование.
Качественно ясно также, что для того, чтобы исключить взаимодействие между соседними атомами, которые находятся на «равновесном» расстоянии l = l0, т. е. развести их на бесконечное расстояние, необходимо затратить вполне определенную энергию. Это означает, что при l = l0 энергия W = W0 будет отрицательной: именно она характеризует прочность связей в кристалле. Чем больше отрицательное значение W0, тем прочнее связи между атомами, тем большую энергию надо потратить для того, чтобы испарить кристалл. Так как испарить кристалл — это значит развести составляющие его атомы на бесконечность, то, очевидно, энергия W0 и является мерой теплоты испарения.
Вот теперь мы можем нарисовать кривую зависимости W от l. Передаваемый рисунком характер зависимости энергии взаимодействия между атомами от расстояния между ними физики называют «потенциалом взаимодействия». Он является фундаментальной характеристикой кристалла.
Продолжим извлекать следствия из факта существования определенного расстояния между атомами. Так как l0 и W0 — вполне определенные, конечные величины, а при удалении атомов их энергия взаимодействия принимает нулевое значение при l = ∞, то кривая W (l) оказывается несимметричной относительно прямой, проходящей через точку l = l0. Очень важное следствие! Ведь оно означает, что с повышением температуры, когда тепловая энергия атомов возрастает, увеличивается не только амплитуда их колебаний, но и смещается в сторону больших значений l центр, вокруг которого эти колебания происходят, т. е. увеличивается «равновесное» расстояние между атомами. Попросту говоря, происходит тепловое расширение кристалла! На рисунке это обстоятельство изображено линией, которая проведена через середины отрезков, равных амплитудам колебаний атомов.
Здесь необходимо обратить внимание читателя на то, что и приведенные рассуждения, и иллюстрирующий их рисунок относятся к случаю, когда взаимодействуют лишь два атома, из которых один намертво закреплен в начале координат. В реальном кристалле все много сложнее: там и ближайших соседей несколько, и нет ни одного «начала координат». И все же приведенные рассуждения правильно передают физику обсуждаемых явлений. Заметьте: от простого факта существования кристалла логика естественно привела нас к необходимости его расширения с повышением температуры.
Коэффициент теплового линейного расширения γ, очевидно, должен быть связан с величинами, которые определяют и иные свойства и характеристики кристалла. Можно, например, ожидать, что чем прочнее связаны атомы в кристалле, т. е. чем больше модуль упругости E, тем меньше будет величина γ. Последнюю фразу следует воспринимать, разумеется, не как доказательство существования закономерности, а лишь как формулировку догадки о ней. А теперь попытаемся построже убедиться в существовании такой закономерности. Наших знаний теперь уже достаточно для того, чтобы вычислить коэффициент линейного расширения γ. Определяется он так:
Относительное изменение расстояния между двумя атомами при нагреве кристалла подчиняется закону Гука, т. е. происходит под действием эффективного напряжения σ = εE. Именно модуль упругости характеризует прочность связи атомов в кристалле: прочнее связь — больше модуль. Наша задача, таким образом, сводится к тому, чтобы понять происхождение и оценить величину σ и, следовательно, ε, а затем и γ.
Программа ясна, выполнить ее несложно. Когда мы нагреваем кристалл на ∆Т градусов, каждый из его атомов получает дополнительную энергию теплового движения k ∆Т. Здесь k — известная со школьной скамьи постоянная Больцмана. Если эта энергия расходуется лишь на то, чтобы увеличить расстояние между соседними атомами, то, видимо, рассуждать можно так. С одной стороны, дополнительная энергия равна k ∆Т. С другой стороны, ее можно представить в виде произведения объема, приходящегося на один атом, ω, на то эффективное напряжение σ, действию которого атом подвержен. Строго я это доказывать здесь не стану, а только обращу внимание читателя на то, что если умножить объем, имеющий размерность см3, на напряжение, имеющее размерность эрг/см3, то получится эрг, т. е. действительно энергия. Итак, из условия k ∆Т ≈ σω следует, что σ ≈ k ∆Т/ω. Таким образом,
