Ричард Фейнман - 6a. Электродинамика

Сохранение энергии, оказывается, тоже локальный процесс. В мире существует не только плотность энергии в данной об­ласти, но и вектор, представляющий скорость потока энергии через поверхность. Например, когда источник излучает свет, мы можем найти энергию света, излучаемого им. Если мы вообра­зим некую математическую поверхность, окружающую источ­ник света, то потеря энергии этого источника равна потоку энергии через окружающую его поверхность.

§ 2. Сохранение анергии и электромагнитное поле

Нам надо теперь описать сохранение энергии в электромаг­нитном поле количественно. Для этого нужно выяснить, сколько энергии находится в единице объема, а также какова скорость ее потока. Рассмотрим сначала энергию только электромагнит­ного поля. Пусть и обозначает плотность энергии поля, т. е. количество энергии в единице объема пространства, а вектор S — поток энергии поля (т. е. количество энергии, прошедшее в единицу времени через единичную поверхность, перпендику­лярную к потоку). Тогда, аналогично сохранению заряда (27.1), можно написать «локальный» закон сохранения энергии поля в виде

(27.2)

Конечно, этот закон, вообще говоря, не верен; энергия поля не сохраняется. Представьте, что вы находитесь в темной комнате, а затем поворачиваете выключатель. Комната внезапно наполняется светом, т. е. в ней оказывается энергия поля, ко­торой раньше не было. Уравнение (27.2) не составляет полного закона сохранения, ибо энергия одного только поля не сохра­няется, а существует еще энергия вещества; сохраняется лишь полная энергия во всем мире. Энергия поля будет изменяться, если оно производит работу над веществом или вещество произ­водит работу над полем.

Однако если внутри интересующего нас объема находится вещество, то мы знаем, сколько энергии оно несет в себе: энергия каждой частицы равна m0c2/Ц(l-v2/c2). Полная же энергия вещества равна просто сумме энергий всех частиц, а поток ее через поверхность равен просто сумме энергий, переносимой каждой частицей, пересекающей эту поверхность. Но сейчас мы будем иметь дело только с энергией электромагнитного поля: Так что мы должны написать уравнение, которое говорит, что Г полная энергия поля в данном объеме уменьшается либо в ре­зультате вытекания ее из объема, либо потому, что поле передает свою энергию веществу (или приобретает ее, что означает просто отрицательную потерю). Энергия поля в объеме V равна

а скорость ее уменьшения равна производной этого интеграла по времени со знаком минус. Поток энергии поля из объема V равен интегралу от нормальной компоненты S по поверхности 2, ограничивающей объем V:

Таким образом,

Раньше мы видели, что над каждой единицей объема вещества поле в единицу времени производит работу Е·j. [Сила, действу­ющая на частицу, равна F=q(E+vXB), а мощность равна F-v=qE·v. Если в единице объема содержится N частиц, то эта мощность в единице объема равна NqE·v, a Nqv=j·I Таким образом, величина Е·j должна быть равна энергии, теряемой полем в единице объема за единицу времени. Уравнение (27.3) при этом приобретает вид

(27.4)

Вот как выглядит наш закон сохранения энергии в поле. Его можно записать как дифференциальное уравнение, подобное (27.2); для этого второе слагаемое нужно превратить в интеграл по объему, что легко делается с помощью теоремы Гаусса. По­верхностный интеграл от нормальной компоненты S равен интегралу от дивергенции S по объему, ограниченному этой поверхностью, так что уравнение (27.3) эквивалентно следую­щему:

где производную по времени от первого слагаемого мы внесли под интеграл. Поскольку это уравнение верно для любого объема, то интегралы можно отбросить и получить уравнение для энергии электромагнитного поля:

(27.5)

Однако это уравнение не даст нам ничего хорошего, пока мы не узнаем, что такое u и S. Быть может, мне следовало бы просто сказать вам, как они выражаются через Е и В, поскольку это единственное, что нам, собственно, нужно. Однако мне очень хочется изложить вам все те рассуждения, которыми в 1884 г. воспользовался Пойнтинг, чтобы получить формулы для S и u, с тем, чтобы вы понимали, откуда они взялись. (Для дальнейшей работы, впрочем, вам этот вывод не потребуется.)

§ 3. Плотность энергии и поток энергии в электромагнитном поле

Идея заключается в том, что должны существовать плот­ность энергии u и поток S, которые зависят только от полей Е и В. [В электростатике, например, плотность энергии, как мы знаем, можно записать в виде 1/2e0(Е·Е).] Разумеется, u и S могут зависеть от потенциалов и чего-то другого, но давайте лучше посмотрим, что мы можем написать. Попытаемся перепи­сать величину Е·j в таком виде, чтобы она стала суммой двух слагаемых, одно из которых было бы производной по времени от некоторой величины, а второе — дивергенцией. Тогда первую величину мы бы назвали и, а вторую — S (разумеется, с надле­жащими знаками). Обе величины должны быть выражены только через поля, т. е. мы хотим записать наше равенство в виде

(27.6)

причем левая часть уравнения должна выражаться только через поля. Как это сделать? Разумеется, нужно воспользоваться уравнениями Максвелла. Из уравнения для ротора В имеем

Подставляя это в (27.6), получаем выражение его только через Е и В:

(27.7)

Работа частично нами уже закончена. Последнее слагаемое есть производная по времени — это (д/дt)(1/2e0Е·Е).

Итак, 1/2e0Е·Е должно быть по крайней мере частью u. Такое же выражение получалось у нас и в электростатике. А теперь единственное, что нам остается сделать,— это превра­тить в дивергенцию чего-то второе слагаемое.

Заметьте, что первое слагаемое в правой части (27.7) пере­писывается в виде

(27.8)

вы знаете из векторной алгебры, что (aXb)·c равно а·(bXc), поэтому первое слагаемое принимает вид

(27.9)

т. е. получилась дивергенция «чего-то», к которой мы так стре­мились. Получилась, но только все это неверно! Я предупреждал вас, что оператор С только «похож» на вектор, а на самом деле он не «настоящий» вектор. Вспомните, что в дифференциальном исчислении существует дополнительное соглашение: когда опе­ратор производной стоит перед произведением, он действует на все стоящее правее него. В уравнении (27.7) оператор С дей­ствует только на В и не затрагивает Е. Но если бы мы записали его в форме уравнения (27.9), то общепринятое соглашение гово­рило бы, что Сдействует как на В, так и на Е. Так что это не одно и то же. В самом деле, если расписать С·(ВXЕ) по ком­понентам, то можно убедиться, что оно равно E· (СXB) плюс какие-то другие слагаемые. Это напоминает взятие производной от произведения в обычном анализе. Например,

Вместо того чтобы выписать все компоненты С· (BXE), мне бы хотелось показать вам один трюк, очень полезный в за­дачах такого рода. Он позволит вам всюду в выражениях, содер­жащих оператор С, пользоваться правилами векторной алгебры, не попадая впросак. Трюк состоит в отбрасывании (по крайней мере на время) правил дифференциального исчисления относи­тельно того, на что действует оператор производной. Вы знаете, что порядок сомножителей важен в двух различных случаях. Во-первых, в дифференциальном исчислении: f(d/dx)g не то же самое, что g(d/dx)f; и, во-вторых, в векторной алгебре: aXb отличается от bXа. Мы можем, если захотим, на минуту отка­заться от правил дифференциального исчисления. Вместо того чтобы говорить, что производная действует на все стоящее правее от нее, мы примем новое правило, избавляющее нас от порядка, в котором записаны сомножители. После этого мы можем крутить ими, как хотим, без всяких помех.

Вот наше новое правило: с помощью индекса мы будем ука­зывать, на что же именно действует дифференциальный опера­тор; при этом порядок сомножителей не имеет никакого значе­ния. Допустим, что оператор д/дх мы обозначили через D. Тогда символ Dfговорит, что берется производная только функции

Но если мы имеем выражение Dffg, то оно означает