Ричард Фейнман - 3. Излучение. Волны. Кванты

(32.4)

Необходимо сделать несколько замечаний по поводу этого выражения. Прежде всего, поскольку а' есть вектор, то а'2 в формуле (32.5) означает а'·а', т. е. квадрат длины вектора. Во-вторых, в формулу (32.2) для потока входит ускорение, взятое с учетом запаздывания, т. е. ускорение в тот момент времени, когда была излучена энергия, проходящая сейчас через поверхность сферы. Может возникнуть мысль, что энергия действительно была излучена точно в указанный момент вре­мени. Но это не совсем правильно. Момент излучения нельзя определить точно. Можно вычислить результат только такого движения, например колебания и т. п., где ускорение в конце концов исчезает. Следовательно, мы можем найти только полный поток энергии за весь период колебаний, пропорциональный среднему за период квадрату ускорения. Поэтому а'2 в (32.5) должно означать среднее по времени от квадрата ускорения. Для такого движения, когда ускорение в начале и в конце обращается в нуль, полная излученная энергия равна интегралу по времени от выражения (32.5).

Посмотрим, что дает формула (32.5) для осциллирующей системы, для которой ускорение а' имеет вид w2x0еiwt. Сред­нее за период от квадрата ускорения равно (при возведении

в квадрат надо помнить, что на самом деле вместо экспоненты должна входить ее действительная часть — косинус, а среднее от cos2wt дает l/2):

(32.6)

Эти формулы были получены сравнительно недавно — в начале XX века. Это замечательные формулы, они имели огромное историческое значение, и о них стоило бы почи­тать в старых книгах по физике. Правда, там использовалась другая система единиц, а не система СИ. Однако в конечных результатах, относящихся к электронам, эти осложнения можно исключить с помощью следующего правила соответствия: вели­чина q2e/4pe0, где qе — заряд электрона (в кулонах), раньше записывалась как е2. Легко убедиться, что в системе СИ значе­ние е численно равно 1,5188·10-14, поскольку мы знаем, что

qe= 1,60206·10-19 и 1/4pe0= 8,98748·109. В дальнейшем мы будем часто пользоваться удобным обозначением

(32.7)

Если это численное значение e подставить в старые формулы, то все остальные величины в них можно считать опре­деленными в системе СИ. Например, формула (32.5) прежде имела вид Р = 2/3е2а2/с3. А потенциальная энергия прото­на и электрона на расстоянии r есть q2e/4pe0r или е2/r, где е=1,5188-10-14 ед. СИ.

§ 3. Радиационное затухание

Заряд, закрепленный на пружине с собственной частотой w0 (или электрон в атоме), даже в абсолютно пустом простран­стве не сможет колебаться бесконечно долго, поскольку, колеб­лясь, он теряет энергию на излучение. Никаких сил сопротив­ления в обычном смысле этого слова, никакой вязкости здесь нет. Но колебания не будут происходить «вечно», вследствие излучения они будут медленно замирать. А насколько медленно? Определим для осциллятора величину Q, вызванную так назы­ваемым радиационным сопротивлением или радиационным зату­ханием. Для любой колеблющейся системы величина Q равна энергии системы в данный момент времени, деленной на потери энергии, отнесенные к 1 рад:

Если Q задано, то легко получить закон спадания энергии колебаний: dW/dt = (-w/Q)W, откуда следует W =W0e-wt/Q; здесь W0 — начальная энергия (при t = 0).

Чтобы найти Q для излучающего осциллятора, вернемся к формуле (32.8) и подставим вместо dW/dt выражение (32.6).

А что нужно взять в качестве энергии W осциллятора? Кине­тическая энергия осциллятора равна 1/2mv2, а средняя кинети­ческая энергия равна mш2x20/4. Но мы помним, что полная энер­гия осциллятора равна средней кинетической плюс средняя потенциальная, причем обе они для осциллятора равны; поэтому полная энергия равна

(32.9)

Какую частоту следует подставить в наши формулы? Мы возь­мем собственную частоту w0, потому что практически это и есть частота излучения атома, а вместо m подставим me . После ряда сокращений эта формула приводится к виду

(32.10)

(Для большей ясности и из соображений близости к исторически принятой форме мы ввели величину е2 = q2e/4pe0 и записали 2p/l вместо w0/с.) Поскольку величина Q безразмерна, множи­тель е2/mес2, зависящий только от массы и заряда электрона и выражающий его внутренние свойства, обязан иметь размер­ность длины. Он был назван классическим радиусом электрона, потому что в старых моделях электрона радиационное сопротив­ление пытались объяснить действием одной части электрона на другие его части, для чего размеры электрона приходилось вы­бирать порядка e2/mec2. Но эта величина потеряла свой прежний смысл, и никто теперь не считает, что электрон имеет такой

радиус. Численное значение классического радиуса электрона следующее:

(32.11)

Вычислим теперь значение Q для атома, излучающего ви­димый свет, например для атома натрия. Длина волны излу­чения натрия равна примерно 6000 Е и находится в желтой части спектра; эта величина довольно типична. Отсюда

(32.12)

т. е. для атомов Q порядка 108. Это значит, что атомный осциллятор колеблется 108 рад, или примерно 107 периодов, прежде чем его энергия уменьшится в 1/е раз. Частота колебаний света v = с/l при длине волны 6000 Е составляет 1015 гц, а, следовательно, время жизни, т. е. время, за которое энер­гия уменьшится в Не раз, есть величина порядка 10-8сек.

Примерно за такое же время высвечиваются свободные атомы в обычных условиях. Проведенная оценка справедлива только для атомов в пустом пространстве, не подверженных никаким внешним воздействиям. Если электрон находится в твердом теле, он сталкивается с другими атомами и электро­нами, и тогда возникает добавочное сопротивление и затухание будет другим.

Величина эффективного сопротивления у, определяющая сопротивление осциллятора, может быть найдена из соотноше­ния 1/Q=g/wo; вспомним, что именно y определяет ширину резо­нансной кривой (см. фиг. 23.2) . Итак, мы вычислили шири­ны спектральных линий для свободно излучающих атомов! Из равенства l=2pc/w получаем

§ 4. Независимые источники

Прежде чем перейти ко второй теме этой главы — рассея­нию света, обсудим частный случай явления интерференции, который мы до сих пор не рассматривали. Речь пойдет о таком случае, когда интерференция не возникает. Пусть имеются два источника S1 и S2 с амплитудами поля a1 и A2 . Излучение регистрируется в некоторой точке, в которую оба луча приходят с фазами j1 и j2 (фазы зависят от истинного момента излучения и времени запаздывания, являющегося функцией точки на­блюдения).

Наблюдаемая интенсивность излучения получается сложе­нием двух комплексных векторов с модулями a1 и A2 и фазами j1 и j2 (как в гл. 30) и возведением в квадрат; таким образом, энергия пропорциональна

Если бы не было перекрестного члена 2A1A2cos(j1-j2), пол­ная энергия в данном направлении была бы равна сумме энер­гий A12+A22; излучаемых по отдельности каждым источником, что соответствует нашим обычным представлениям. Иначе говоря, интенсивность света, падающего на предмет от двух источников, совпала бы с суммой интенсивностей обоих источ­ников. С другой стороны, если оставить перекрестный член, суммы интенсивностей не получится, потому что возникнет ин­терференция. В тех случаях, когда перекрестный член роли не играет, интерференция, казалось бы, отсутствует. Фактически же она возникает всегда, но подчас ее не удается наблюдать.

Приведем несколько примеров. Пусть два источника нахо­дятся друг от друга на расстоянии 7 000 000 000 длин волн, что, в общем, вполне осуществимо. Тогда в некотором фиксиро­ванном направлении разность фаз принимает вполне определен­ное значение. Но если сдвинуться от этого направления хоть на волосок, скажем на несколько длин волн (совсем пустячное расстояние: зрачок нашего глаза настолько велик, что действие лучей можно усреднять на расстояниях, много больших длины волны), то разность фаз станет другой и значение косинуса резко изменится. При вычислении средней интенсивности в ма­ленькой области пространства косинус в точках этой области будет все время колебаться — плюс, минус, плюс, минус — и при усреднении даст нуль.