Ричард Фейнман - 2. Пространство. Время. Движение
Фиг. 19.4. Три последовательных положения движущейся по радиусу точки вращающегося столика.
Из-за вращения карусели масса, как мы видим, движется не по прямой линии, а по некоторому кривому пути, касающемуся диаметра в точке r=0. Но для того чтобы она двигалась по кривому пути, должна действовать ускоряющая сила. Это и есть кориолисова сила.
Однако с кориолисовой силой мы встречаемся не только в подобных ситуациях. Можно показать, что если предмет движется с постоянной скоростью по краю диска, то на него тоже действует кориолисова сила. Почему? Мик видит предмет движущимся со скоростью vм, а Джо видит его движущимся по окружности со скоростью vд=vм+wr, поскольку предмет вдобавок переносится каруселью. Как мы уже знаем, действующая в этом случае сила будет, в сущности, полностью центробежной силой скорости vд, равной тv2Д/r. Но, с точки зрения Мика, она должна состоять из трех частей. Все это можно записать в следующем виде:
Итак, Fr — это сила, которую измеряет Мик. Попытаемся понять, откуда что берется. Может ли Мик признать первый член? «Конечно,— сказал бы он,— даже если бы я не вращался, то такая центробежная сила должна возникнуть, если побежать по кругу со скоростью vм». Итак, это просто центробежная сила, появления которой Мик ожидает и которая не имеет ничего общего с вращением карусели. Вдобавок Мик думает, что должна быть еще одна центробежная сила, действующая даже на неподвижные предметы на его карусели. Это дает третий член. Однако в дополнение к ним существует еще один член — второй, который опять равен 2 mwvм. Раньше, при радиальной скорости, кориолисова сила fk была тангенциальна. Теперь же, при тангенциальной скорости, она радиальна. В самом деле, одно выражение отличается от другого только знаком. Сила всегда имеет одно и то же направление по отношению к скорости независимо от того, куда направлена скорость. Она действует под прямым углом к скорости и равна по величине 2mwv.
Глава 20
ВРАЩЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Моменты сил в трехмерном пространстве
§ 2. Уравнения вращения в векторном виде
§ 3. Гироскоп
§ 4. Момент количества движения твердого тел
§ 1. Моменты сил в трехмерном пространстве
В этой главе мы рассмотрим одно из наиболее замечательных и забавных следствий законов механики — поведение крутящегося колеса. Для этого нам прежде всего нужно расширить математическое описание вращения, понятие момента количества движения, момента силы и т. д. на трехмерное пространство. Однако мы не будем использовать эти уравнения во всей их общности и изучать все следствия, ибо это займет многие годы, а нас ждут другие разделы, к которым мы вскоре должны перейти. В вводном курсе можно остановиться только на основных законах и их приложениях к весьма ограниченному числу особенно интересных случаев.
Прежде всего хочу отметить, что для вращения в трех измерениях твердого тела или какого-то иного объекта остается верным все, что мы получили для двух измерений. Иначе говоря, xFy-yFxтак и остается моментом силы «в плоскости ху», или моментом силы «относительно оси z». Остается справедливым также, что этот момент силы равен скорости изменения величины хрy-урх; если вы вспомните вывод уравнения (18.15) из законов Ньютона, то увидите, что фактически мы не использовали того обстоятельства, что движение плоское, и просто дифференцировали величину хру-урхи получали xFy-yFx, так что эта теорема остается верной. Величину хру-урхмы называли моментом количества движения в плоскости ху, или моментом количества движения относительно оси z. Кроме плоскости ху, можно использовать другие пары осей и получить другие уравнения. Возьмем, например, плоскость yz. Уже из симметрии ясно, что если мы просто подставим у вместо х, a z вместо у, то для момента силы получим выражение yFz-zFyи ypz-zpyбудет угловым моментом в этой плоскости. Разумеется, можно еще взять и плоскость zx и получить для нее
zFx-xFz=d/dt(zpx-xpz).
Совершенно ясно, что для движения одной частицы мы получаем и три уравнения для трех плоскостей. Более того, если мы складывали такие величины, как хру—урх, для многих частиц и называли это полным угловым моментом, то теперь у нас есть три сорта подобных выражений для трех плоскостей: ху, yz и zx, а сделав то же самое с моментами сил, мы можем также говорить и о полных моментах сил в этих плоскостях. Таким образом, появляются законы о том, что внешний момент сил в некоторой плоскости равен скорости изменения углового момента в той же плоскости. Это просто обобщение того, что писалось для двух измерений.
Однако теперь можно сказать: «Но ведь есть еще и другие плоскости. Разве нельзя в конце концов взять плоскость под каким-то углом и вычислять действующие в ней моменты сил. Для каждого такого случая нужно писать другие системы уравнений, так что в результате их наберется масса!» Здесь следует отметить очень интересное обстоятельство. Оказывается, что если мы в комбинации x'Fy'-y'Fx'для «косой» плоскости выразим величины x', Fy'и т. д. через их компоненты, то результат можно записать в виде некоторой комбинации трех моментов в плоскостях ху, yz и zx. В этом нет ничего нового. Другими словами, если нам известны три момента сил в плоскостях ху, yz и zx, то момент сил в любой другой плоскости, как и угловой момент, может быть записан в виде их комбинации: скажем, 6% одного, 92% другого и т. д. Этим свойством мы сейчас и займемся.
Пусть Джо для своих координатных осей х, у, z определял все моменты сил и все угловые моменты во всех плоскостях. Однако Мик направил свои оси х', у', z' по-другому. Чтобы немного облегчить задачу, предположим, что повернуты только оси x и y. Мик выбрал другие оси х' и у', а его ось z осталась той же самой. Это означает, что плоскости yz и zx у него новые, а поэтому моменты сил и угловые моменты у него тоже окажутся новыми. Например, его момент сил в плоскости х'у' окажется равным
x'Fy'-y'Fx' и т. д. Следующая задача — найти связь между новыми и старыми моментами сил. Ее вполне можно решить, установив связь одного набора осей с другим. «Да это же напоминает то, что мы делали с векторами»,— скажете вы. Действительно, я собираюсь делать в точности то же самое. «А не вектор ли он, этот момент сил?» — спросите вы. Действительно, он — вектор, однако этого нельзя сказать просто так, без всякого математического анализа. Так что следующим этапом должен быть анализ. Однако мы не будем подробно обсуждать каждый шаг, а только покажем, как это все работает. Моменты сил, вычисленные Джо, равны
В этом месте мы сделаем отступление и заметим, что в подобных случаях, если оси координат выбраны неправильно, для некоторых величин получается неверный знак. Почему бы не написать tyz=zFy-yFz? Этот вопрос связан с тем обстоятельством, что система координат может быть либо «левая», либо «правая». Однако выбрав (произвольно) знак, скажем, у txy, можно всегда определить правильное выражение для остальных двух величин путем замены по какой-либо из двух схем:
Теперь Мик подсчитывает моменты сил в своей системе.
Пусть одна система координат повернута на угол q по отношению к другой, так что ось z осталась той же самой. (Угол q ничего не имеет общего с вращением объекта или с чем-то происходящим внутри системы координат. Это просто связь между осями, используемыми одним человеком, и осями, используемыми другим. Мы предполагаем, что он остается постоянным.) При этом координаты в двух системах связаны так:
