Ричард Фейнман - 5b. Электричество и магнетизм
Это векторное уравнение, конечно, распадается на три уравнения
и каждое из этих уравнений математически идентично уравнению
(14.17)
Все, что мы узнали о нахождении потенциала для известного r, можно использовать для нахождения каждой компоненты А, когда известно j!
В гл. 4 мы видели, что общее решение уравнения электростатики (14.17) имеет вид
Тогда мы немедленно получаем общее решение для Аx:
(14.18)
и аналогично для Ауи Az. (Фиг. 14.2 напоминает вам о принятых нами обозначениях для r12 и dV2.) Мы можем объединить все три решения в векторной форме:
(14.19)
(Вы можете при желании проверить прямым дифференцированием компонент, что этот интеграл удовлетворяет С·А=0, поскольку С·j=0, а последнее, как мы видели, должно выполняться для постоянных токов.)
Мы имеем, таким образом, общий метод вычисления магнитного поля от постоянных токов. Принцип такой: x-компонента векторного потенциала, возникающая от плотности тока j, точно такая же, как электрический потенциал j, который был бы создан плотностью зарядов р, равной jx/c2, и аналогично для у- и z-компонент. (Этот принцип действует только для декартовых компонент. Например, «радиальная» компонента А не связана таким же образом с «радиальной» компонентой j.) Итак, из вектора плотности тока j можно найти А, пользуясь уравнениями (14.19), т. е. мы находим каждую компоненту А, решая три воображаемые электростатические задачи для распределений заряда r1=jx/с2, r2=jу/с2 и r3=jz/с2. Затем мы находим В, вычислив разные производные от А, входящие в ухА. Немного сложнее, чем в электростатике, но идея та же. Сейчас мы проиллюстрируем теорию, вычислив векторный потенциал в нескольких частных случаях.
§ 3. Прямой провод
В качестве первого примера снова вычислим поле прямого провода, которое мы находили в предыдущем параграфе, пользуясь уравнением (14.2) и соображениями симметрии. Возьмем длинный прямой провод радиуса а, по которому течет постоянный ток I. В отличие от заряда в проводнике в случае электростатики постоянный ток в проводе распределен равномерно по поперечному сечению провода. При таком выборе координат, как показано на фиг. 14.3, вектор плотности тока j имеет только z-компоненту. По величине она равна
(14.20)
внутри провода и нулю вне его.
Поскольку jхи jy оба равны нулю, то сразу же получим
Ах = 0, Ау = 0.
Чтобы получить Аг, можно использовать наше решение для электростатического потенциала j от провода с однородной плотностью заряда r=/г/с2.
Фиг. 14.3. Длинный цилиндрический провод с однородной плотностью тока j, направленный вдоль оси z.
Для точек вне бесконечного заряженного цилиндра электростатический потенциал равен
где r'=Ц(x2+y2), a l, — заряд на единицу длины pа2r. Следовательно, Агдолжно быть равно
для точек вне длинного провода с равномерно распределенным током. Поскольку pа2jz=I то можно также написать
(14.21)
Теперь можно найти В, пользуясь (14.4). Из шести производных от нуля отличны только две. Получаем
(14.22)
,(14.23)
Мы получаем тот же результат, что и раньше: В обходит провод по окружности и по величине равен
(14.24).
§ 4. Длинный соленоид
Еще пример. Рассмотрим опять бесконечно длинный соленоид с током по окружности, равным пI на единицу длины. (Мы считаем, что имеется n витков проволоки на единицу длины, несущих каждый ток I, и пренебрегаем небольшими зазорами между витками.)
Точно так же, как мы выводили «поверхностную плотность заряда» а, определим здесь «поверхностную плотность тока» J, равную току на единице длины по поверхности соленоида (что, конечно, есть просто среднее j, умноженное на толщину тонкой намотки). Величина J здесь равна nI. Этот поверхностный ток (фиг. 14.4) имеет компоненты
Мы должны теперь найти А для такого распределения токов. Прежде всего найдем Ах в точках вне соленоида. Результат такой же, как электростатический потенциал вне цилиндра с поверхностным зарядом:
Фиг. 14.4. Длинный соленоид с поверхностной плотностью тока J.
где s0=-,//c2. Мы не решали случай такого распределения заряда, но делали нечто похожее. Это распределение заряда эквивалентно двум жестким цилиндрам, состоящим из зарядов, один из положительных, другой из отрицательных, с малым относительным смещением их осей в направлении у. Потенциал такой пары цилиндров пропорционален производной по у от потенциала одного однородно заряженного цилиндра. Мы, конечно, можем вычислить константу пропорциональности, но пока не будем возиться с этим.
Потенциал заряженного цилиндра пропорционален lnr'; потенциал пары тогда равен
Итак, мы знаем, что
(14.25)
где К — некоторая константа. Рассуждая точно так же, найдем
(14.26)
Хотя мы раньше говорили, что вне соленоида магнитного поля нет, теперь мы находим, что поле А существует и циркулирует вокруг оси z (см. фиг. 14.4). Возникает вопрос: равен ли нулю его ротор?
Очевидно, Вхи Вyравны нулю, а
Итак, магнитное поле вне очень длинного соленоида действительно равно нулю, хотя векторный потенциал нулю не равен.
Мы можем проверить наш результат, прибегнув к другим соображениям. Циркуляция векторного потенциала вокруг соленоида должна равняться потоку В внутри катушки [уравнение (14.11)]. Циркуляция равна А·2pr' или, поскольку А=К1r', она равна 2pК. Заметьте, что циркуляция не зависит от r'. Так и должно быть, если В вне соленоида отсутствует, потому что поток есть просто величина В внутри соленоида, умноженная на pа2. Он один и тот же для всех окружностей с радиусом r'>а. Раньше мы нашли, что поле внутри равно n//e0c2, поэтому мы можем определить константу К:
или
Итак, векторный потенциал снаружи имеет величину
(14.27)
и всегда перпендикулярен вектору r'.
Мы говорили о соленоидальной катушке из проволоки, но такое же поле мы могли бы создать, вращая длинный цилиндр с электростатическим зарядом на поверхности. Если у нас есть тонкий цилиндрический слой радиуса а с поверхностным зарядом s, то вращение цилиндра образует поверхностный ток J=sv, где v=sw — скорость поверхностного заряда. Внутри цилиндра тогда будет магнитное поле B=saw/e0с2.
Теперь можно поставить интересный вопрос. Предположим, что перпендикулярно к оси цилиндра мы поместили короткий отрезок проволоки W от оси до поверхности и прикрепили ее к цилиндру так, что проволока вращается вместе с ним (фиг. 14.5). Эта проволока движется в магнитном поле, так что сила vXB приведет к тому, что концы проволоки зарядятся (они будут заряжаться до тех пор, пока поле Е зарядов не уравновесит силы vXB). Если цилиндр заряжен положительно, то конец проволоки вблизи оси будет иметь отрицательный заряд. Измеряя заряд на конце проволоки, мы могли бы определить скорость вращения системы. Мы получили бы «угловой скоростемер» (или «угловой ситометр»)!
Но вы, наверно, засомневаетесь: «А что, если я сам перейду,— скажете вы,— в систему координат вращающегося цилиндра? Там заряженный цилиндр покоится, а я знаю из электростатических уравнений, что внутри цилиндра никакого поля не будет, не будет и силы, толкающей заряды к центру. Поэтому здесь что-то не так?» Нет. Все правильно.
Фиг. 14.5.Вращающийся заряженный цилиндр создает внутри себя магнитное поле.
