Александр Петров - Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор

• метрическое пространство – множество точек, переход между которыми осуществляется непрерывным образом и введено правило определения расстояния между точками;

• мировая точка или событие – точка на диаграмме пространства Минковского (в 4-мерном пространстве-времени);

• мировая линия – совокупность мировых точек на диаграмме пространства Минковского, описывающая движение в зависимости от времени материальной массивной или безмассовой частицы;

• пространство Минковского – псевдоевклидово метрическое пространство, в котором связь между пространственными расстояниями и промежутками времени, разделяющими события, определяется интервалом, сохраняющимся при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой;

• интервал времениподобный, если его квадрат положительный; в этом случае он эквивалентен промежутку собственного времени наблюдателя, следующего от одного события к другому прямолинейно и равномерно;

интервал светоподобный, если его квадрат равен нулю;

интервал пространственноподобный, если его квадрат отрицательный;

• световой конус в данной мировой точке – совокупность всех светоподобных прямых, проходящих через эту точку;

• причинно связанные события – события, которые могут быть соединены мировой линией, все касательные к таким линиям имеют наклон, не превышающий наклона светоподобных прямых;

• лоренцевы вращения – переход в пространстве Минковского из одной инерциальной системы отсчета в другую;

Теперь, используя представления о пространстве Минковского, продвинемся дальше.

Еще о свойствах СТО

Эквивалентность инвариантной массы и энергии покоя. Знаменитая формула Эйнштейна. Вспомним обычные определения энергии и импульса из школьного курса, которые используются в нерелятивистской механике Ньютона. Энергия обычно разделяется на потенциальную и кинетическую. Потенциальная определяется высотой тела над поверхностью Земли. Ее исключим из рассмотрения, предполагая, что нет гравитационного поля Земли. Кинетическая энергия определяется массой и скоростью тела:

Импульс определяется простой формулой p = mv, m – инвариантная относительно преобразований инерциальная масса тела, масса покоя. Как изменятся эти величины при переходе к другой инерциальной системе? В рамках преобразований Галилея нужно лишь заменить скорость тела v на v′ = v + V, где V – скорость движения одной системы относительно другой.

В специальной теории относительности мы имеем дело с релятивистской механикой. В ее рамках энергия движущегося тела и его импульс выражаются формулами:

Как релятивистские энергия и импульс преобразуются при переходе от одной инерциальной системы к другой? Ответ простой: с помощью преобразований Лоренца. Релятивистские энергию и компоненты импульса (для сохранения размерности – ср) можно мыслить, как компоненты единого 4-х вектора в пространстве Минковского, который называют вектором энергии-импульса. Строим квадрат длины этого 4-мерного вектора точно так же, как был построен квадрат интервала между событиями. Как и интервал, эта величина инвариантна относительно поворотов Лоренца и всегда имеет значение:

E 2 – (сp) 2 = (mc 2) 2.

Знак минус и здесь отражает тот факт, что пространство Минковского – псевдоевклидово. Легко видеть, если частица покоится и p = 0, то ее полная энергия выражается знаменитой формулой: E = mc2. Это согласуется с релятивистским выражением для энергии, если там положить v = 0, и приводит к выводу, что вся масса покоя тела может быть превращена в энергию, а энергия может обращаться в массу покоя.

Представим релятивистские энергию и импульс для малых скоростей v: они переходят в нерелятивистские E = mc2 + Ek (где второе слагаемое – обычная кинетическая энергия, она определена выше) и p = mv. Как видим, здесь нерелятивистская энергия отличается от кинетической энергии Ньютона на величину, которую мы уже назвали энергией покоя. То есть в СТО у массивных частиц состояний с нулевой энергией не бывает.

Кроме этих выводов, сделаем еще один: в СТО естественным образом описываются частицы с нулевой массой покоя m = 0, такие как фотон, для них E2 = (сp)2. Очевидно, что в пространстве Минковкого они распространяются со скоростью света. Действительно, длина 4-вектора энергии-импульса для них равна нулю, т. е. их мировые линии лежат на световом конусе.

«Утяжеление релятивистской массы». Иногда в литературе, особенно часто – в популярной, встречается понятие «релятивисткой массы». Откуда оно взялось? В выражениях для релятивистских энергии и импульса инвариантную массу покоя можно заменить выражением:

Эта величина и называется релятивистской массой. Тогда релятивистская энергия приобретает форму формулы Эйнштейна E = m′c2, а релятивистский импульс форму обычного импульса p = m′v. Ясно, что с возрастанием скорости v, величина m′ увеличивается, а при v = c обращается в бесконечность. Возможно, это выглядит как яркий пример в популярной литературе. Но исследователи, как правило, этой величиной не оперируют, чтобы не создавать путаницы, ведь релятивистские энергия и импульс ведут себя точно так же. Действительно, они растут с увеличением скорости. Но для реальных тел ни энергия, ни импульс не могут достигать бесконечных значений. Это значит, что объекты с ненулевой массой покоя не могут достичь скорости света, а их траектория всегда находится внутри светового конуса. Куда удобнее использовать массу покоя, которая является инвариантной величиной.

Парадокс близнецов

– Это она стартовала двести восемнадцать лет тому назад, о ней уже все забыли, но благодаря эйнштейновскому сокращению времени, происходящему от движения на субсветовых скоростях, экипаж постарел всего на два года!

– Благодаря чему? Ах, Эйнштейн… Да-да, помню.

Представления о пространстве Минковского помогают разобраться и с так называемым парадоксом близнецов. Он связан с эффектом относительного замедления времени. Это мысленный эксперимент, в котором рассматривают двух близнецов, один из которых решил отправиться в космическое путешествие. В соответствии с релятивистским замедлением времени каждый из близнецов считает (и это подтверждается его наблюдениями), что часы другого близнеца идут медленнее, чем его собственные. Но тогда, когда путешественник вернется, окажется, что каждый из них должен обнаружить своего брата моложе, чем он сам! Это и есть парадокс. Так кто из них будет моложе при встрече после путешествия?

На самом деле парадокс сформулирован точно так же, как многие детские загадки, когда важные детали замалчиваются. Об их существовании нужно догадаться.

Парадокс был бы, действительно, парадоксом, если бы положение близнецов было симметричным. Но так ли это? Путешественник, прежде чем полететь к звездам, должен разогнаться до высоких скоростей, потом, где-то там далеко, развернуться, а вернувшись к Земле, замедлиться, чтобы встретиться со своим братом. Ничего этого не происходит с братом-домоседом. Как минимум, во время трех периодов своего путешествия космонавт будет испытывать ускорения. Поэтому, строго говоря, на пространственно-временной диаграмме мировая линия брата-путешественника будет кривая.

Рис. 5.5. Решение парадокса близнецов

Качественно проблему можно решить, представив мировую линию путешественника в виде ломаной, состоящей из двух отрезков, как показано на рис. 5.5, ускорения «скрыты» в изломах этой ломаной. Мировая линия брата-домоседа совпадает с осью времени. Сравним интервал отрезка прямой на оси времени между событиями a (расставания) и w (встречи) с суммой интервалов отрезков ломаной. Прежде всего, отметим, что наклонные отрезки ломаной линии времениподобные, поскольку описывают движение материального тела. Но тогда из наших рассуждений о сравнении интервалов на рис. 5.4 следует, что интервал каждого из наклонных отрезков меньше половины интервала отрезка aw, то есть интервал всей ломаной меньше, чем весь интервал aw. Но интервал отрезка мировой линии наблюдателя равен промежутку его собственного времени. Поэтому брат-путешественник при встрече будет моложе.