Роджер Пенроуз - Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики
84
Последняя теорема Ферма доказана английским математиком Эндрю Уайлсом (Andrew J. Wiles). Доказательство опубликовано в 1995 году. — Прим. ред.
85
Недавно я узнал от Леоноры Блюм, что (заинтересовавшись моими комментариями в первом издании этой книги) она установила, что множество Мандельброта (и его дополнение) на самом деле являются, как я и предполагал, нерекурсивными в том смысле, который описан в десятом примечании.
86
Блюмом, Шубом и Смэйлом [1989] была разработана новая теория вычислимости для действительных функций от действительных переменных (в отличие от общепринятых функций натуральных чисел, принимающих натуральные значения), подробности которой я узнал лишь совсем недавно. Эта теория применима и к комплексным функциям, а кроме того, может сыграть заметную роль в упомянутых мной вопросах.
87
Это дает (отрицательный) ответ на десятую проблему Гильберта, упомянутую на с. 44 (см., например, Дэвлин [1988]). Здесь количество переменных неограниченно. Однако, известно, что для выполнения свойства неалгоритмичности достаточно и девяти.
88
Эта конкретная задача называется (если быть более точным) «задачей со словами для полугрупп». Существуют также и другие разновидности этой задачи, в которых действуют несколько отличные правила. Но нас это сейчас волновать не должно.
89
В действительности Хао Ванг занимался несколько иной проблемой — с квадратными «плитками», не вращаемыми и с совпадающими по цвету сторонами, — но эти особенности для нас здесь не важны.
90
Более того, Ханф [1974] и Майерс [1974] показали, что существует отдельное множество (из большого числа «плиток»), которое покрывает плоскость только невычислимым образом.
91
Понятие «полиномиальный» применяется на самом деле к выражениям более общего вида, скажем, 7n4 — Зn3 + 6n + 15, но это никак не изменит общности наших рассуждений. В любом таком выражении все члены младших степеней n теряют значимость по мере увеличения n (так что в данном примере можно игнорировать все слагаемые, кроме 7n4).
92
В действительности, путем применения некоторых тонких ходов, можно сократить число шагов до величины порядка n log n log (log n) для больших n — которая, конечно, все еще принадлежит Р. За подробностями я отсылаю читателя к Кнуту [1981].
93
Если быть точным, классы Р, NP и NP-полный (см. «Теория сложности») определены только для задач типа «да или нет» (скажем, когда заданы a, b, c и спрашивается, выполняется ли для них а х b = c); но описания, приведенные в тексте, вполне подходят для наших целей.
94
Строго говоря, нам нужно переформулировать эту задачу под ответ «да или нет», например: существует ли маршрут для коммивояжера, длина которого меньше чем столько-то? (См. предыдущее примечание.)
95
Поразительно, что все установленные отклонения от ньютоновской картины связаны фундаментальным образом с поведением света. Во-первых, это существование бестелесных полей, переносящих энергию, которые описываются электромагнитной теорией Максвелла. Во-вторых, как мы увидим, скорость света играет решающую роль в специальной теории относительности Эйнштейна. В-третьих, незначительные отклонения от ньютоновской теории гравитации, о которых нам говорит эйнштейновская общая теория относительности, становятся существенными только при скоростях, сравнимых со скоростью света. (Отклонение света вблизи Солнца, движение Меркурия, скорости убегания, сравнимые со скоростью убегания света для черных дыр, и т. д.) В-четвертых, дуализм волна-частица в квантовой теории впервые был обнаружен в поведении света. Наконец, нельзя не упомянуть о квантовой электродинамике — квантовой полевой теории света и заряженных частиц. Можно легко представить себе, что сам Ньютон с готовностью согласился бы признать, что фундаментальные проблемы его картины мира кроются в загадочном поведении света (см. Ньютон [1730], а также Пенроуз [1987а]).
96
Но только почти: точность, которая требуется при управлении полетом спутника или космического зонда, такова, что для расчета его орбиты нужно принимать во внимание эффекты искривления пространства-времени, описываемые обшей теорией относительности. И то же самое справедливо в отношении особо прецизионных устройств, способных установить местоположение заданного объекта на земной поверхности с точностью до долей метра.
97
Существует популярная в настоящее время точка зрения, называемая «инфляционным сценарием», которая призвана объяснить, почему вселенная, помимо всего прочего, является однородной на очень больших масштабах. Согласно этой теории, вселенная на очень ранних стадиях испытала гигантское расширение — намного превосходящее по своим масштабам «обычное» расширение стандартного сценария. Идея заключается в том, что любые нерегулярности сглаживаются в результате такого расширения. Однако, инфляция не работает без наложения еще более жестких начальных ограничений, чем те, которые уже даются гипотезой о вейлевской кривизне. Она не вводит в теорию никакой асимметричной во времени составляющей, которая дала бы возможность объяснить различие между начальной и конечной сингулярностью. (Более того, она опирается на физические теории — теории великого объединения — чей статус не более, чем ПРОБНЫЙ, по терминологии главы 5. Для более подробного знакомства с критическим анализом «инфляции», в контексте идей, изложенных в этой главе, см. Пенроуз [19896].)
98
В оригинале игра слов: phenomen — явление, phenomenal — феноменальный. — Прим. ред.
99
Популярное изложение квантовой электродинамики см. в книге Фейнмана КЭД [1985].
100
Имеется в ввду так называемая «стандартная модель» Большого взрыва. Существует много вариантов теории Большого взрыва, наиболее известный из которых носит имя «инфляционный сценарий». По моему твердому убеждению, инфляционный сценарий относится к категории ПРОБНЫХ теорий.
101
Существует величественная область давно устоявшегося физического знания, а именно — термодинамика Карно, Максвелла, Кельвина, Больцмана и других ученых, которую я не собираюсь здесь классифицировать. Мое решение может показаться некоторым из читателей странным, но я поступаю так умышленно. По причинам, которые, возможно, станут яснее в главе 7, я не испытывал ни малейшего желания заносить термодинамику в том виде, какой она имеет в настоящее время, в категорию истинно ПРЕВОСХОДНЫХ теорий. Но многие физики, вероятно, сочли бы кощунством, осмелься я назвать это великолепное собрание таких красивых фундаментальных идей унизительным термином ПОЛЕЗНЫЕ! Я считаю, что термодинамика в ее обычном понимании — как дисциплины, оперирующей только средними величинами и ничего не говорящая о поведении отдельных компонентов системы; науки, отчасти сочетающей в себе следствия из других теорий, — не является в полном смысле физической теорией (конечно, с моей точки зрения, которую я распространяю и на математический базис статистической механики). Пользуясь случаем, я все же приношу читателям извинения за то, что оставил в стороне эту проблему и предпочел оставить вопрос классификации в стороне. Далее в главе 7 я высказываю уверенность в том, что между термодинамикой и теми идеями, которые относятся к модели Большого взрыва и которые я ранее охарактеризовал как ПОЛЕЗНЫЕ, существует тесная взаимосвязь. Убежден, что в результате правильного объединения этих двух теорий (пока еще, увы, не реализованного), должна возникнуть новая теория, которую с полным основанием можно будет отнести к категории ПРЕВОСХОДНЫХ. К этому вопросу нам еще придется вернуться в дальнейшем.
102
Мои коллеги спросили меня, в какую категорию я поместил бы «теорию твисторов» — глубоко разработанный круг идей и процедур, с которыми я был связан на протяжении долгих лет. Поскольку она представляет собой альтернативную теорию окружающего мира, ее нельзя охарактеризовать иначе, как ПРОБНУЮ; но, по большому счету, она является просто способом математической записи давно созданных физических теорий.
