Ричард Фейнман - 5b. Электричество и магнетизм

Отсюда возникает еще один интересный вопрос. А не спра­ведливо ли это утверждение и для уравнений электростатики? Может быть, и они годятся только как сглаженная имитация на самом деле гораздо более сложного микромира? И реальный мир состоит из маленьких Х-онов, которые можно различить только на чрезвычайно малых расстояниях? А проводя наши измерения, мы всегда наблюдаем все в таком грубом масштабе, что не можем увидеть эти маленькие Х-оны, вот почему мы и приходим к дифференциальным уравнениям?

Наша современная наиболее полная теория электродинамики действительно обнаруживает трудности на очень малых рас­стояниях. Поэтому в принципе возможно, что эти уравнения представляют собой сглаженные версии чего-то: Они оказы­ваются правильными на расстояниях вплоть до 10-14 см, но за­тем они начинают выглядеть неправильными. Возможно, что существует пока еще не открытый «механизм» и что детали внут­реннего сложного устройства скрыты в уравнениях, имеющих гладкий вид, как это получается в «гладкой» диффузии нейтро­нов. Но никто еще не сумел сформулировать успешной теории, которая бы работала таким образом.

Как это ни странно, оказывается (по причинам, в которых мы еще не разобрались), что комбинация релятивизма и кван­товой механики, насколько мы их знаем, по-видимому, запре­щает придумывание уравнений, фундаментально отличных от уравнения (12.4) и в то же время свободных от противоречий. Заметьте: не из-за расхождений с экспериментом, а от внутренних противоречий. Таких, как, скажем, предсказание, что сум­ма вероятностей всех возможных исходов станет не равной единице или что энергии оказываются комплексными числами, или еще какой-нибудь чепухи. Никто еще не создал теории электричества, в которой С2j=-r/e0 понималось бы как сгла­женное приближение к более глубокому механизму и которая не приводила бы, в конечном счете к какому-либо абсурду. Но надо сказать, что правильно также и то, что предположение о справедливости С2j=-r/e0 для любых как угодно малых расстояний тоже приводит к дикому абсурду (электрическая энергия электрона бесконечна) — абсурду, от которого никто еще не сумел избавиться.

* Поскольку мы говорим о некогерентных источниках, интенсивности, которых всегда складываются линейно, то электрические заряды в аналогичной задаче всегда будут иметь одинаковые знаки. Следует учесть, что наша аналогия применяется только к световой энергии, падающей на поверхность непрозрачной плоскости, поэтому мы должны включить в интеграл лишь источники, излучающие над поверхностью (конечно, не те, которые расположены под поверхностью!).

Глава 13

МАГНИТОСТАТИКА

§1.Магнитное поле

§2.Электрический ток; сохранение заряда

§З. Магнитная сила, действующая на ток

§4.Магнитное поле постоянных токов; закон Ампера

§5.Магнитное поле прямого провода и соленоида; атомные токи

§6.Относительность магнитных и электрических полей

§7.Преобразование токов и зарядов

§8.Суперпозиция; правило правой руки

Повторить: гл. 15 (вып. 2) «Специальная теория относи­тельности»

§ 1. Магнитное поле

Сила, действующая на электрический заряд, зависит не только от того, где он находится, но и от того, с какой скоростью он движется. Каждая точка в пространстве характеризуется двумя векторными величинами, которые опре­деляют силу, действующую на любой заряд. Во-первых, имеется электрическая сила, даю­щая ту часть силы, которая не зависит от дви­жения заряда. Мы описываем ее с помощью электрического поля Е. Во-вторых, есть еще добавочная компонента силы, называемая маг­нитной силой, которая зависит от скорости заряда. Эта магнитная сила имеет удивительное свойство: в любой данной точке пространства, как направление, так и величина силы зависят от направления движения частицы; в каждый момент сила всегда перпендикулярна вектору скорости; кроме того, в любом месте сила всегда перпендикулярна определенному направ­лению в пространстве (фиг. 13.1), и, наконец, величина силы пропорциональна компоненте скорости, перпендикулярной этому выделен­ному направлению. Все эти свойства можно описать, если ввести вектор магнитного поля В, который определяет выделенное направле­ние в пространстве и одновременно служит константой пропорциональности между силой и скоростью, и записать магнитную силу в виде qvXB. Полная электромагнитная сила, дей­ствующая на заряд, может тогда быть записана так:

F=q(E+vXB), (13.1)

Она называется силой Лоренца.

Фиг. 13.1. Зависящая от скоро­сти компонента силы на движу­щийся заряд направлена перпен­дикулярно V и вектору В. Она пропорциональна также компонен­те V, перпендикулярной В, т. е. vsinq.

Магнитную силу можно легко продемонстрировать, если поднести магнит вплотную к катодной трубке. Отклонение электронного луча указывает на то, что магнит возбуждает силы, действующие на электроны перпендикулярно направле­нию их движения (мы уже об этом говорили в вып. 1, гл. 12).

Единицей магнитного поля В, очевидно, является 1 ньютон-секунда, деленная на кулон-метр. Та же единица может быть написана как вольт-секунда на квадратный метр. Ее назы­вают еще вебер на квадратный метр.

§ 2. Электрический ток; сохранение заряда

Подумаем теперь о том, почему магнитные силы дей­ствуют на провода, по которым течет электрический ток. Для этого определим, что понимается под плотностью тока. Элект­рический ток состоит из движущихся электронов или дру­гих зарядов, которые образуют результирующее течение, или поток. Мы можем представить поток зарядов вектором, опре­деляющим количество зарядов, которое проходит в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную по­току (точь-в-точь как мы это делали, определяя поток тепла). Назовем эту величину плотностью тока и обозначим ее век­тором j. Он направлен вдоль движения зарядов. Если взять маленькую площадку Da в данном месте материала, то коли­чество зарядов, текущее через площадку в единицу времени, равно

j·nDa, (13.2)

где n — единичный вектор нормали к Dа.

Плотность тока связана со средней скоростью течения зарядов. Предположим, что имеется распределение зарядов, в среднем дрейфующих со скоростью v. Когда это распределе­ние проходит через элемент поверхности Dа, то заряд Dq, проходящий через Dа за время Dt, равен заряду, содержащемуся в параллелепипеде с основанием Dа и высотой vDt (фиг. 13.2).

Фиг. 13.2. Если распределение зарядов с плотностью r дви­жется со скоростью v, то коли­чество заряда, проходящее в единицу времени через площад­ку Dа, есть rv·nDа.

Объем параллелепипеда есть произведение проекции Dа, пер­пендикулярной к v, на vDt, а умножая его на плотность заря­дов r, получаем Dq. Таким образом,

Dq = rv·nDaDt.

Заряд, проходящий в единицу времени, тогда равен рv·nDа, откуда получаем

j = pv. (13.3)

Если распределение зарядов состоит из отдельных зарядов, скажем электронов с зарядом q, движущихся со средней ско­ростью v, то плотность тока равна

j = Nqv,(13.4)

где N — число зарядов в единице объема.

Полное количество заряда, проходящее в единицу времени через какую-то поверхность S, называется электрическим то­ком I. Он равен интегралу от нормальной составляющей потока по всем элементам поверхности (фиг. 13.3):

Фиг. 13.3. Ток I через поверх­ность S равен ∫j·nda

Фиг. 13.4. Интеграл от j·n no замкнутой по­верхности равен скоро­сти изменения полного заряда Q внутри.

Ток I из замкнутой поверхности S представляет собой ско­рость, с которой заряды покидают объем V, окруженный по­верхностью 5. Один из основных законов физики говорит, что электрический заряд неуничтожаем; он никогда не теряется и не создается. Электрические заряды могут перемещаться с места на место, но никогда не возникают из ничего. Мы го­ворим, что заряд сохраняется. Если из замкнутой поверхности возникает результирующий ток, то количество заряда внутри должно соответственно уменьшаться (фиг. 13.4). Поэтому мы можем записать закон сохранения заряда в таком виде:

(13.6)

Заряд внутри можно записать как объемный интеграл от плот­ности заряда