Турчин Фёдорович - Феномен науки. Кибернетический подход к эволюции
Фаза исследования только что созданной теории включает деятельность по двум направлениям. Первое — это всесторонняя проверка теории, сравнение ее с опытом, поиск изъянов. Но допустим, теория хороша. Тогда на первый план выступает второе направление — попытка дать модели «обратный ход», т. е. по заданному L2 определить те или иные особенности L1. Эта процедура отнюдь не лишена практического смысла. Человек использует модель для планирования целенаправленной деятельности, он хочет знать, что ему надо делать, чтобы получить требуемый результат, какое должно быть L1, чтобы получить данное L2. В нашем примере с земледельцем вопрос может быть поставлен, например, так: при известной ширине поля какова должна быть его длина, чтобы получить заданное количество пшеницы?
Однако не всегда исследование обратного хода модели диктуется сиюминутными потребностями практики. Часто это делается из чистого любопытства, по принципу «интересно, что получится?» Тем не менее, результатом такой деятельности будет лучшее понимание устройства и свойства модели и создание новых конструкций и моделей, т. е., в конечном счете, многократно увеличенная польза для практики. В этом состоит высшая мудрость природы, наделившей человека «чистым» любопытством.
В арифметике обратный ход модели приводит к понятию уравнения. Простейшие уравнения порождают операции вычитания и деления. Пользуясь современным алгебраическим языком, мы определяем разность b - a как решение уравнения a + x = b, т. е. такое число x, что это равенство становится верным. Аналогично определяется частное от деления b на a. Операция деления порождает новую конструкцию — дробь. Повторное умножение числа на самое себя порождает конструкцию степени, а обратный ход при наличии этой конструкции — операцию извлечения корня. Это завершает перечень арифметических конструкций, которые были в употреблении у древних египтян и вавилонян.
9.9. Решение уравнений
С развитием техники счета и вообще с развитием цивилизации стали появляться и решаться все более сложные уравнения. Древние не знали, конечно, современного алгебраического языка, они выражали уравнения на обычном разговорном языке подобно тому, как это делается в наших школьных учебниках арифметики. Но это не меняет сущности задач, которые они решали (и так называемых арифметических школьных задач), как задач на решение уравнений.
Величину, подлежащую определению, египтяне называли «аха», что переводят как «некоторое количество» или «куча». Вот пример формулировки задачи из египетского папируса: «количество и его четвертая часть дают вместе 15». Это задача «на части» по современной арифметической терминологии, а на алгебраическом языке она соответствует уравнению
x + 1/4 x = 15.
Приведем пример более сложной задачи египетских времен.
Квадрат и другой квадрат, сторона которого есть 1/2 + 1/4 стороны первого квадрата, имеют вместе площадь 100. Вычисли мне это.
Решение в современных обозначениях:
x2 + (3/4 x)2 = 100, (1 + 9/16) x2 = 100,
5/4 x = 10, x = 8, 3/4 x = 6,
Описание решения в папирусе:
Возьми квадрат со стороной 1 и возьми 1/2 + 1/4 от 1, т. е. 1/2 + 1/4 в качестве стороны второй площади. Помножь 1/2 + 1/4 на самое себя, это дает 1/2 + 1/16. Поскольку сторона первой площади взята за 1, а второй за 1/2 + 1/4, то сложи обе площади вместе; это дает 1 + 1/2 + 1/16. Возьми корень отсюда: это будет 1 + 1/4. Возьми корень из данных 100: это будет 10. Сколько раз входит 1 + 1/4 в 10? Это входит 8 раз.
Дальше текст не сохранился, но конец очевиден: 8 × 1 = 8 — сторона первого квадрата, 8 × (1/2 + 1/4) = 6 — второго.
Египтяне умели решать только линейные и простейшие квадратные уравнения с одним неизвестным. Вавилоняне продвинулись гораздо дальше. Вот пример задачи из вавилонских текстов.
Площади двух моих квадратов я сложил: 25 25/60. Сторона второго квадрата равна 2/3 стороны первого и еще 5.
Далее следует совершенно правильное ее решение. Эта задача эквивалентна системе уравнений с двумя неизвестными:
x2 + y2 = 25 25/60, y = 2/3 x + 5.
Вавилоняне умели решать полное квадратное уравнение
x2 ± ax = b,
кубические уравнения
x3 = a и x2 (x + 1) = a,
системы уравнений, подобные приведенной выше, а также вида
x2 ± y = a, xy = b.
Кроме того, они пользовались формулами
(a + b)2 = a + 2ab + b2 и (a + b)(a - b) = a2 - b2,
умели суммировать арифметические прогрессии, знали суммы некоторых числовых рядов и числа, которые впоследствии подучили название пифагоровых (такие целые числа x, y, z, что х2 + у2 = z2).
9.10. Формула
Место древнего Египта и Вавилона в истории математики можно определить следующим образом: в этих культурах впервые появилась формула. Под формулой мы понимаем не только буквенно-цифровое выражение современного алгебраического языка, но вообще всякий языковый объект, являющийся точным (формальным) предписанием, как производить преобразование L1 → L2 или какие-либо вспомогательные преобразования в рамках языка. Формулы представляют собой важнейшую часть любой развитой теории, хотя, конечно, не исчерпывают ее, ибо в теорию входит еще семантика языковых объектов Li. Утверждение о связи между величинами сторон в прямоугольном треугольнике, содержащееся в теореме Пифагора, — это формула, если даже оно выражено словами, а не буквами. Типовая задача с описанием хода решения («делай так!») и с примечанием, что числа могут быть произвольны (это может быть не высказано, но подразумеваться), — это тоже формула. Именно такие формулы и дошли до нас в египетских папирусах и на вавилонских глиняных табличках.
1 См. замечания И. Н. Веселовского к переводу книги: Ван дёр Варден Б. Пробуждающаяся наука. М.: Физматгиэ, 1959.
2 C небольшими сокращениями.
3 Этот отрывок дошел до нас через Прокла (V в.н.э) — комментатора Евклида.
Глава 10. От Фалеса до Евклида
10.1. Доказательство
Ни в египетских, ни в вавилонских текстах мы не находим ничего, что хотя бы отдаленно было похоже на математическое доказательство. Понятие о доказательстве ввели греки, и это является их величайшей заслугой. Какими-то наводящими соображениями при получении новой формулы люди, очевидно, пользовались и раньше, мы даже приводили пример грубо неверной формулы (для площади неправильных четырехугольников у египтян), явно полученной из внешне правдоподобных «общих соображений». Но только греки стали относиться к этим наводящим соображениям с той серьезностью, которой они заслуживают, стали анализировать эти соображения с точки зрения их убедительности и ввели принцип, согласно которому каждое утверждение, касающееся чисел и фигур (формула), за исключением лишь небольшого числа, должно быть доказано, выведено убедительным, не допускающим сомнений образом из этих «совершенно очевидных» истин. Неудивительно, что именно греки с их демократическим общественным строем создали учение о математическом доказательстве. Споры и доказательство играли важнейшую роль в жизни граждан греческого города-государства (полиса). Понятие о доказательстве уже существовало, оно было общественно значимой реальностью. Осталось только перенести его в область математики, что и было сделано, едва греки познакомились с достижениями древних восточных цивилизаций. Сыграло здесь роль, надо полагать, и то положение молодого любознательного ученика, в котором оказались греки по отношению к египтянам и вавилонянам — своим старшим и не всегда согласным друг с другом учителям. В самом деле, вавилоняне определяют площадь круга по формуле 3r2, а египтяне по формуле (8/9 2r)2 . Где же истина? Здесь есть о чем подумать и поспорить.
