Коллектив Авторов - Базы данных: конспект лекций
1. Например, операция пересечения двух отношений является производной от операции разности этих же двух отношений. Покажем это.
Операцию пересечения можно выразить следующей формулой:
r1(S) ∩ r2(S) = r1 r1 r2
или, что дает тот же результат:
r1(S) ∩ r2(S) = r2 r2 r1;
2. Еще одним примером, производной базовой операции от восьми исходных операций является операция естественного соединения. В самом общем виде эта операция является производной от бинарной операции декартового произведения и унарных операций выборки, проекции и переименования атрибутов. Однако, в свою очередь, операция внутреннего соединения является производной операцией от той же операции декартового произведения отношений. Поэтому, чтобы показать, что операция естественного соединения – производная операция, рассмотрим следующий пример.
Сравним приведенные ранее примеры для операций естественного и внутреннего соединений.
Пусть нам даны два отношения r1(S1) и r2(S2) которые будут выступать в качестве операндов. Они равны:
r1(S1):
r2(S2):
Как мы уже получали ранее, результатом операции естественного соединения этих отношений будет являться таблица следующего вида:
r3(S3) ≔ r1(S1) × r2(S2):
А результатом внутреннего соединения этих же отношений r1(S1) и r2(S2) по условию P = (b1 = b2) будет следующая таблица:
r4(S4) ≔ r1(S1) × P r2(S2):
Сравним эти два результата, получившиеся новые отношения r3(S3) и r4(S4).
Ясно, что операция естественного соединения выражается через операцию внутреннего соединения, но, что главное, с условием соединения специального вида.
Запишем математическую формулу, описывающую действие операции естественного соединения как производную операции внутреннего соединения.
r1(S1) × r2(S2) = { ρ <ϕ1> r1 × E ρ< ϕ2>r2}[S1 ∪ S2],
где E — условие соединимости кортежей;
E= ∀a ∈S1 ∩ S2 [IsNull (b1) & IsNull (2) ∪b1 = b2];
b1 = ϕ1 (name(a)), b2 = ϕ2 (name(a));
Здесь одна из функций переименования ϕ1 является тождественной, а другая функция переименования (а именно – ϕ2) переименовывает атрибуты, на которых наши схемы пересекаются.
Условие соединимости E для кортежей записывается в общем виде с учетом возможных появлений Null-значений, ведь операция внутреннего соединения (как уже было сказано выше) является производной операцией от операции декартового произведения двух отношений и унарной операции выборки.
6. Выражения реляционной алгебры
Покажем, как можно использовать рассмотренные ранее выражения и операции реляционной алгебры в практической эксплуатации различных баз данных.
Пусть для примера в нашем распоряжении имеется фрагмент какой-то коммерческой базы данных:
Поставщики (Код поставщика, Имя поставщика, Город поставщика);
Инструменты (Код инструмента, Имя инструмента, …);
Поставки (Код поставщика, Код детали);
Подчеркнутые имена атрибутов[1] являются ключевыми (т. е. идентификационными) атрибутами, причем каждый в своем отношении.
Предположим, что к нам, как разработчикам этой базы данных и хранителям информации по этому вопросу, поступил заказ получить наименования поставщиков (Имя Поставщика) и место их расположения (Город Поставщика) в случае, когда эти поставщики не поставляют каких-либо инструментов с родовым именем «Плоскогубцы».
Чтобы в нашей, возможно, весьма обширной, базе данных определить всех поставщиков, отвечающих этому требованию, запишем несколько выражений реляционной алгебры.
1. образуем естественное соединение отношений «Поставщики» и «Поставки» для того, чтобы сопоставить с каждым поставщиком коды поставляемых им деталей. Новое отношение – результат применения операции естественного соединения – для удобства дальнейшего применения обозначим через r1.
Поставщики × Поставки ≔ r1 (Код поставщика, Имя поставщика, Город поставщика, Код поставщика, Код инструмента);
В скобках мы перечислили все атрибуты отношений, участвующих в этой операции естественного соединения. Мы видим, что атрибут «Код поставщика» дублируется, но в итоговой записи операции каждое имя атрибута должно присутствовать только один раз, т. е.:
Поставщики × Поставки ≔ r1 (Код поставщика, Имя поставщика, Город поставщика, Код инструмента);
2. снова образуем естественное соединение, только на этот раз отношения, получившегося в пункте один и отношения Инструменты. Делаем это для того, чтобы с каждым кодом инструмента, получившемуся в предыдущем пункте, – сопоставить имя этого инструмента.
r1 × Инструменты [Код инструмента, Имя инструмента] ≔ r2 (Код поставщика, Имя поставщика, Город поставщика, Код инструмента, Код инструмента, Имя инструмента);
Получившийся результат обозначим r2, дублирующиеся атрибуты исключаем:
r1 × Инструменты [Код инструмента, Имя инструмента] ≔ r2 (Код поставщика, Имя поставщика, Город поставщика, Код инструмента, Имя инструмента);
Заметим, что из отношения Инструменты мы берем только два атрибута: «Код инструмента» и «Имя инструмента». Чтобы это осуществить мы, как можно заметить из записи отношения r2, применили унарную операцию проекции: Инструменты [Код инструмента, Имя инструмента], т. е., если бы отношение Инструменты было представлено в виде таблицы, результатом этой операции проекции стали бы два первых столбца с заголовками соответственно «Код инструмента» и «Имя инструмента».
Интересно заметить, что два первых шага, нами уже рассмотренных, являются достаточно общими, т. е. они могут быть использованы и для реализации каких-либо других запросов.
А вот два следующих пункта, в свою очередь, представляют собой конкретные шаги для достижения поставленной перед нами конкретной задачи.
3. Напишем унарную операцию выборки по условию <«Имя инструмента» = «Плоскогубцы»> применительно к отношению r2, полученному в предыдущем пункте. А к результату этой операции применим, в свою очередь, унарную операцию проекции [Код поставщика, Имя поставщика, Город поставщика], для того чтобы получить все значения этих атрибутов, потому что именно эту информацию нам и требуется получить исходя из заказа.
Итак:
(σ<Имя инструмента = «Плоскогубцы»> r2) [Код поставщика, Имя поставщика, Город поставщика] ≔ r3 (Код поставщика, Имя поставщика, Город поставщика, Код инструмента, Имя инструмента).
В результирующем отношении, обозначенном через r3, оказались только те поставщики (со всеми своими опознавательными данными), которые поставляют инструменты с родовым именем «Плоскогубцы». Но нам в силу заказа необходимо выделить тех поставщиков, которые, наоборот, не поставляют таких инструментов. Поэтому перейдем к следующему действию нашего алгоритма и запишем последнее выражение реляционной алгебры, которое и даст нам искомую информацию.
4. Сначала составим разность отношения «Поставщики» и отношения r3, а после применения этой бинарной операции применим унарную операцию проекции на атрибуты «Имя поставщика» и «Город поставщика».
(Поставщики r3) [Имя поставщика, Город поставщика] ≔ r4 (Код поставщика, Имя поставщика, Город поставщика);
