Теоретические основы инвестиций в акции, облигации и стандартные опционы - Владимир Костин
Достижимое множество портфелей является областью определения МО доходности портфеля как функции СКО доходности, т. е. Данная зависимость задана уравнениями (1.8) и (1.9) и двумя условиями
Для анализа достижимых множеств портфелей воспользуемся, во — первых, методами аналитической геометрии, в соответствии с которой приведенные выше первые два уравнения в общем случае описывают кривую второго порядка, в частности гиперболу, заданную в параметрической форме. В некоторых случаях, как показано ниже, гипербола вырождается в точку или отрезок прямой.
Методы аналитической геометрии позволяют определить параметры гиперболы, а также обеспечивают возможность перехода описания достижимого множества портфелей от параметрической формы к более удобной аналитической форме представления зависимости.
Во — вторых, для определения минимального значения СКО доходности портфеля и соответствующих значений объёмов инвестирования воспользуемся известным в математическом анализе методом нахождения экстремума функции с использованием частных производных. В данном случае составляется система из уравнений, которые представляют собой приравненные к нулю частные производные функции
Решения данной системы уравнений относительно переменных с учётом условий и позволяют рассчитать границу достижимого множества и МО доходности портфеля с минимальным значением СКО доходности.
В — третьих, при относительно большом значении для определения достижимого множества целесообразно использовать численные методы, что обусловлено чрезмерно громоздкими конечными формулами, которые выводятся в рамках аналитической геометрии. Численные методы предполагают определение достижимого множества портфеля, например, путём последовательного перебора всех возможных сочетаний объёмов инвестирования в каждый актив при этом большое количество арифметических операций предопределяет необходимость использования вычислительной техники.
Методологически оправданным (от простого к сложному) является анализ специфики достижимых множеств портфелей как комбинации:
безрискового актива с рискованным активом;
двух рискованных активов;
трёх рискованных активов;
рискованных активов;
безрискового актива и рискованных активов;
рискованных активов и активов с фиксированной доходностью.
При анализе инвестиционных качеств перечисленных вариантов комбинаций активов будем полагать, что возможности инвестора ограничены собственным капиталом.
Достижимое множество портфелей, содержащих безрисковый актив и рискованный актив. На основании приведенных выше соотношений рассмотрим основные свойства портфеля, который состоит из безрискового актива и рискованного актива
где и — относительные объёмы инвестирования в безрисковый и рискованный активы соответственно; и — доходность и СКО доходности безрискового актива соответственно; и — МО и СКО доходности рискованного актива соответственно; — коэффициент корреляции доходностей безрискового и рискованного активов.
Поскольку в данном случае, СКО доходности безрискового актива равно нулю () по определению, а случайная и детерминированная величины всегда не коррелированны () получаем
После простых преобразований находим
Анализ соотношения (1.14) показывает, что зависимость МО доходности портфеля от СКО доходности является линейной (рис. 1.2). Параметр является свободным членом в данной линейной зависимости, а отношение является тангенсом угла наклона прямой.
Рис. 1.2. Достижимое множество портфелей, содержащих безрисковый и рискованный активы
Условия и ограничивают прямую линию отрезком прямой, который пересекает ось ординат в точке, соответствующей портфелю (,), и завершается точкой, соответствующей портфелю (,).
Таким образом, достижимое множество портфелей, содержащих безрисковый и рискованный активы, имеет вид отрезка прямой линии, соединяющей точки и, соответствующие безрисковому активу и рискованному активу. При этом конкретное расположение портфеля на отрезке прямой зависит от соотношения относительных объёмов инвестирования в безрисковый и рискованный активы.
Достижимое множество портфелей, содержащих два рискованных актива. Предположим, что портфель содержит два рискованных актива и. По аналогии с соотношениями (1.10) и (1.11) получаем
где и — относительные объёмы инвестирования в активы и соответственно; и — МО доходностей активов и соответственно; и — СКО доходностей активов и соответственно и; — коэффициент корреляции доходностей активов и.
Учитывая, что, из формулы (1.15) получаем соотношения для расчёта относительных объёмов инвестирования в активы и ()
После преобразований соотношений (1.15) и (1.16) получаем уравнение гиперболы вида
где — координата вершины гиперболы по оси ординат
— длина действительной полуоси гиперболы или координата вершины гиперболы по оси абсцисс;
— длина мнимой полуоси гиперболы.
В качестве примера на рис. 1.3 представлены достижимые множества портфелей, содержащих два рискованных актива и, для коэффициентов корреляции, и.
Рис. 1.3. Достижимые множества портфелей, содержащих два рискованных актива и, для коэффициентов корреляции, и (зависимости 1, 2 и 3 соответственно)
Условия и ограничивают гиперболу точками, которые соответствуют портфелям с одним активом (,) или (,).
Анализ рис. 1.3 показывает, что достижимое множество портфелей, содержащих два рискованных актива, при располагается на дуге гиперболы (кривая 1) и при — на дуге гиперболы (кривая 2).
Портфели, соответствующие вершинам гипербол и, обладают минимально возможными значениями СКО доходностей из достижимых множеств и соответственно, причём наименьшее СКО доходности имеет место при.
В частном случае, когда активы и представляют собой совокупности ценных бумаг одного и того же эмитента, но приобретённых по разной цене (по этой причине активы отличаются МО и СКО доходности), коэффициент корреляции доходностей активов равен единице, т. е. Тогда выражение для СКО доходности портфеля преобразуется к виду
и достижимое множество вырождается в отрезок прямой (на рис. 1.3 прямая 3). Уравнение отрезка прямой имеет вид
где — тангенс угла наклона прямой; — свободный член линейной зависимости.
Координаты вершины гиперболы и соответствующие объёмы инвестирования в активы и можно определить и методом выделения экстремума функции с использованием частных производных.
Принимая во внимание, что, преобразуем выражение для СКО доходности портфеля к виду
Для определения минимального значения СКО доходности актива приравняем к нулю производную
В результате решения данного уравнения получаем соотношения для расчёта объёмов инвестирования в активы и, при которых достигается минимальное значение СКО доходности актива
После подстановки выражений (1.18) и (1.19) для и в соотношения (1.15) и (1.16) получаем формулы для расчёта минимального значения СКО доходности, а также соответствующего ему значения МО доходности. Как и следовало ожидать, минимальным значением СКО доходности обладает портфель, поскольку, а.
Таким образом, два рискованных актива и порождают достижимое множество портфелей, которое в графической интерпретации располагается на дуге гиперболы, где точка является вершиной гиперболы.
Достижимое множество портфелей, содержащих три рискованных актива. Предположим, что портфель содержит три рискованных актива, и. По аналогии с соотношениями (1.15) и (1.16) получаем
где, и — относительные объёмы инвестирования в активы, и соответственно;, и — МО доходностей активов, и соответственно;, и — СКО доходностей активов, и соответственно;, и — коэффициенты корреляции между доходностями активов и, и, и соответственно.
На конкретном примере рассмотрим особенности построения достижимого множества портфелей, которые содержат три актива, и с коррелированными доходностями и
