Всеволод Беллюстин - Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]
Теперь поведемъ рѣчь объ опредѣленіяхъ дѣйствій. Что показываетъ опредѣленіе? Оно указываетъ смыслъ дѣйствія и его сущность. Такъ, напр., опредѣленіемъ умноженія цѣлыхъ чиселъ служитъ слѣдующее: «умноженіемъ называется такое ариѳметическое дѣйствіе, въ которомъ составляется сумма столькихъ слагаемыхъ, равныхъ первому даному числу, сколько единицъ заключается во второмъ данномъ числѣ». Надо сказать, что опредѣленія въ первоначальной арабской ариѳметикѣ были короткими и понятными и употреблялись только тогда, когда въ нихъ дѣйствительно являлась надобность, т.-е. когда дѣйствіе безъ опредѣленія представлялось неяснымъ и смѣшивалось съ другимъ. Но, въ противоположность этому, средневѣковая школьная ученость (такъ назыв. схоластика) начала придавать словеснымъ опредѣленіямъ слишкомъ большое значеніе, начала требовать опредѣленій даже и въ тѣхъ случаяхъ, когда и безъ нихъ понятія ясны, просты и не смѣшиваются. Къ этому еще присоединилось увлеченіе мнимо-научнымъ языкомъ, когда стремились нарочно выражатьея туманно, тяжеловѣсно, нагромождая фразу на фразу, и все это съ цѣлымъ рядомъ придаточныхъ предложеній, въ грудѣ которыхъ нерѣдко было трудно дойти до истиннаго смысла. Излишнія и тяжело выраженныя опредѣлевія не мало мучили учащихся; средневѣковая варварская латынь и хитроумная риторика ложились тяжелымъ бременемъ на умственныя силы учениковъ и мало содѣйствовали уясненію основныхъ математическихъ понятій. И въ наши дни замѣтно еще нѣкоторое вліяніе средневѣковой схоластики, особенно въ нѣмецкой школѣ. Недаромъ знаменитый русскій педагогъ Ушинскій говоритъ:
«Для нѣмца недостаточно понимать вещь: но ему непремѣнно нужно опредѣлить ее и дать ей мѣсто въ системахъ своихъ знаній. Опредѣленіями пустѣйшихъ и ничтожнѣйшихъ предметовъ набиты кипы нѣмецкихъ учебниковъ. Безъ опредѣленія для нѣмца и вещь не вещь».
Приведемъ нѣсколько примѣровъ, которые доказываютъ, какъ иногда трудны и безполезны бываютъ опредѣленія. Въ русской ариѳметикѣ Румовскаго (1760 г.) относительно дѣленія сказано такъ:
«Дѣленіе есть способъ изъ данныхъ двухъ чиселъ D и M находить третіе E, въ которомъ бы столько разъ содержалась единица, сколько разъ одно изъ данныхъ двухъ чиселъ D въ другомъ данномъ M содержится».
Какъ это мудрено и непонятно, хотя съ научной точки зрѣнія и правильно! Можно думать, что авторъ нарочно, съ цѣлью такъ затемнилъ смыслъ яснаго дѣйствія дѣленія; вѣдь пятилѣтніе ребята, если имъ дать яблоко и велѣть раздѣлить поровну, напр., пополамъ, поймутъ, чего отъ нихъ хотятъ, и съ удовольствіемъ рѣшатъ задачу, но авторъ этой ариѳметики, должно-быть, думаетъ, что трудный слогъ содѣйствуетъ научности; напрасно: научность состоитъ въ глубокихъ мысляхъ, а не въ туманныхъ фразахъ. Вотъ еще опредѣленія Грамматеуса (XVI в.):
«Сложеніе, или суммированіе, показываетъ сумму нѣсколькихъ чиселъ. Умноженіе, или увеличеніе, описываетъ, какъ умножать одно число на другос или увеличивать. Вычитаніе, или отниманіе, открываетъ, какъ число вычитать, или какъ одно число отнимать отъ другого, чтобы видѣть остатокъ».
Здѣсь только одна замѣна словъ и нѣтъ никакой помощи для смысла.
Сложеніе цѣлыхъ отвлеченныхъ чиселъ
Это дѣйствіе безспорно и безъ всякаго сомнѣнія занимаетъ первенствующее мѣсто въ ряду четырехъ дѣйствій, потому что безъ сложенія не обойтись нигдѣ. «Что есть аддиціо или сложеніе?» спрашиваетъ славянскій учебникъ ариѳметики и отвѣчаетъ: «Аддиціо, или сложеніе, есть дву или многихъ числъ во едино собраніе, или во единъ перечень совокупленіе». И продолжаетъ сейчасъ же за этимъ: «Удобнѣйшаго же ради, и скораго сложенія, подобаетъ прежде предложенную таблицу имѣти въ разумѣ твердо, да всякихъ числъ сложеніе творити имаши скоро и извѣстно, безъ всякаго забвеніа и лжи». Табличку надо было выучить непремѣнно наизусть и помнить ее твердо, твердо, иначе все ариѳметическое зданіе могло бы рушиться, потому что въ старинныя времена оно гораздо больше основывалось на чистомъ запоминаніи, чѣмъ на сужденіи и выводѣ. Учителя крѣпко убѣждаютъ помнить табличку, и вотъ даже стихи въ одной изъ ариѳметикъ:
«Къ двумъ единъ то есть три,Два же къ тремъ пять смотри,Такъ и все назирай Таблицу разбирай.Хотяй же не лгатиПохвально слагати,Да тщится познати,Изустно сказати».
Въ нашихъ нынѣшнихъ учебникахъ ариѳметики таблица сложенія начинается съ 1+1 и кончается 9+9. Но прежде было иначе. Напр., въ ариѳметикѣ Леонардо Фибонначи (1200 г.), первомъ европейскомъ учебникѣ, составленномъ по арабскому образцу, рекомендуется заучить не только таблицу единицъ, но и цѣлую таблицу десятковъ отъ 10+10 до 90+90. Здѣсь, конечно, видна непослѣдовательность: если учить десятки, то отчего же не учить сотни, тысячи и всѣ остальные разряды. Въ противоположность такой большой таблицѣ, русскіе учебники XVII в. даютъ таблицу маленькую, которая кончается всего на всего суммой 11, а до 18-ти не доходитъ Заглавіе этой таблицы такое: «Граница изустная счетная къ разуму хотящему разумѣти благая и полезная». Подобныхъ высокопарныхъ выраженій цѣлая тьма въ старинныхъ ариѳметическихъ пособіяхъ.
Сложеніе большихъ чиселъ, особенно же многозначныхъ чиселъ издавна производилось гораздо чаще на счетныхъ приборахъ, чѣмъ письменно. Разныя наглядныя пособія для счета и придумывались, главнымъ образомъ, для того, чтобы помочь сложенію. У китайцевъ— сванъ-панъ, у грековъ и римлянъ—абакъ, у насъ, русскихъ, торговые счеты, да, кромѣ того, еще нѣсколько видоизмѣненій этихъ приборовъ—все это служило цѣлямъ отысканія суммы. И надо сказать, что привычка складывать на приборахъ очень укоренилась въ простомъ народѣ во всѣхъ почти странахъ и при томъ настолько сильно, что, напримѣръ, римскій абакъ употреблялся для сложенія въ Западной Европѣ столѣтія 3–4 спустя послѣ введенія индусской системы.
Способомъ, переходнымъ отъ абака къ нашему настоящему, является такой. Положимъ, даны намъ два числа: 666 и 144; подписавши 144 подъ 666 и опредѣливъ сумму единицъ 10, мы стираемъ 6 у верхняго слагаемаго и пишемъ вмѣсто него 0, а такъ какъ сумма единицъ дала десятокъ, то и цифру десятковъ 6 стираемъ и пишемъ 7, теперь слагаемыя измѣнились: 670 и 144; десятковъ въ суммѣ получитея 11, слѣдовательно стираемъ 7 и замѣняемъ черезъ 1 и также вмѣсто 6-ти сотенъ пишемъ 7; теперь намъ остается тодь-ко сложить 7 сотенъ съ 1, будетъ 8; эта цифра пишется вмѣсто 7 сотенъ, и весь отвѣтъ получается на мѣстѣ перваго слагаемаго въ видѣ 810. Пять разъ намъ приходилось стирать, прежде чѣмъ добраться до вѣрнаго отвѣта. Несомнѣнно, такимъ путемъ трудно дѣйствовать на бумагѣ, но онъ былъ умѣстенъ на абакѣ, покрытомъ пескомъ; еще можно попытаться на грифельной доскѣ, но эти по-стояннныя стиранія надоѣдаютъ; почему же они примѣнялись и на бумагѣ? вѣдь отъ нихъ нѣтъ никакой выгоды и одно только неудобство? А потому, что прежняя метода обученія стремилась обратить человѣка въ машину, не полагалась на его личную сообразительность и предписывала все отмѣчать на абакѣ, но никакъ не удерживать въ умѣ. Мы теперь запоминаемъ десятки или сотни, получившіяся отъ единицъ или десятковъ, а тогда всѣ мелочи необходимо было писать, чтобы не утерять.
Механическій характеръ цифрового сложенія, безъ всякаго пособія устнаго счета, ясно проглядываетъ у большинства средневѣковыхъ писателей. Магометъ Бега-эддинъ (XVI в.) подписываетъ слагае-мыя правильно одно подъ другимъ и складываетъ единицы опять же правильно, но когда изъ нихъ образуется десятокъ, то онъ не знаетъ, что съ нимъ дѣлать, и пока до поры до времени записываетъ его надъ десятками; далѣе ведетъ сложеніе десятковъ и, только получивъ ихъ сумму, онъ вспоминаетъ про десятокъ, образовавшійся изъ единицъ и тутъ его прикладываетъ. Сложеніе другихъ разрядовъ идетъ подобнымъ образомъ. Примѣръ:
1 1 1 1
5 3 7 3 9
2 8 2 6 5
—————————
7 1 9 9 4
8 2 0 0
Вотъ каково недовѣріе къ соображенію учениковъ и какая подробная механичность.
Въ этомъ родѣ, иногда съ небольшими улучшеніями, составленъ рядъ учебниковъ по ариѳметикѣ въ XVI–XVIII вв. Въ нихъ даются пространныя правила, какъ надо располагать слагаемыя и какъ замѣчать цифры. Эти правила нисколько не объясняются, и вычисляющій долженъ работать съ ними, какъ машина. Напр., Грамматеусъ, составитель нѣмецкаго учебника XVI в., даетъ три такихъ правила: 1-е: Смотри тщательно, чтобы цифры стояли какъ разъ одна надъ другой, такъ, чтобы 1-ая стояла надъ 1-ой, 2-ая надъ 2-ой и т. д.; проведи подъ этимъ линію, подъ которой и надо писать сумму. 2-е правило: Начинай съ правой руки, сложи всѣ числа, которыя стоятъ на первомъ мѣстѣ; если получится отъ сложенія двѣ цифры, то первую напиши, а вторую удержи въ умѣ, съ тѣмъ, чтобы прибавить ее къ слѣдующей; такъ же поступай и со всѣми остальными. 3-е правило: Въ концѣ ничего не надо держать въ умѣ, но все надо писать. Все время употребляй слово «и» или «да», напримѣръ, три да четыре—семь.
