Борис Кушнер - Успенский пишет о Колмогорове

Неудивительно, что в 20-е годы велик был соблазн применить волшебное Марксово лекарство к лечению математики. Дискуссии по основаниям математики поощрялись и, наряду с тоннами словесного мусора, несомненно, много интересных соображений было высказано в те далёкие, холодные и голодные годы. В своих воспоминаниях о Колмогорове Юшкевич упоминает одну из таких дискуссий и впечатление, произведённое на него безыскусным по форме выступлением Колмогорова, в особенности замечанием о том, что интуиционистская математика только по форме уже классической. Думаю, что это замечание лет на 50 опередило своё время. Во всяком случае, я слышал подобные высказывания только в начале восьмидесятых годов, и делались они на основании огромного технического опыта, накопленного несколькими поколениями исследователей.

Столь же оригинальна и вторая предвоенная логическая статья Колмогорова [10]. Опубликованная семью годами позже, чем [9], на немецком языке, работа посвящена истолкованию интуиционистской логики. Если с семантикой классической логики дело обстояло более или менее благополучно, то вокруг содержания интуиционисткой логики велось немало дискуссий. Говоря очень упрощённо, классическая теоретико-множественная концепция математики, восходящая к Кантору, предполагает некий платонистский, идеальный, завершённый мир, в котором математические объекты существуют независимо от нашего творческого сознания в таком же смысле, как существуют звёзды на небе. Завершённая, актуальная бесконечность является вполне гармоничной идеей для такого мира (в самом деле, например, натуральный ряд в этом завершённом мире тоже должен быть завершённым, актуально бесконечным, иначе придётся допустить существование наибольшего натурального числа, что по меньшей мере странно). Математические утверждения выражают состояния вещей в этом мире и потому они также независимо от нашего сознания, состояния знаний и т.д. либо истинны, либо ложны. Не только абсолютизация экзистенциального статуса математических объектов, но и абсолютизация самого познания доведена в этой концепции до конца. Математические теоремы не столько изобретаются, сколько открываются математиками примерно так же, как открывались мореплавателями новые острова. Ясно, что закон исключённого третьего вполне естественен в этом «чёрно-белом» мире и что классическая логика является, таким образом, логикой теоретических истин, то есть логикой идеализированного математического бытия.  

В контрасте с этой концепцией, интуиционистский математический мир принципиально незавершён, он развивается в результате творческой активности субъекта. Образно говоря, акт Творения математического мира передан от Бога к человеку, точнее к идеализированному человеческому существу, живущему и творящему во времени. От активности и умений такого творческого субъекта и зависит характер соответствующего математического мира. Что же в таком случае выражает интуиционистская логика, эта своего рода конституция интуиционистской математики? Предложенная Колмогоровым концепция исходит из того, что объектами интуиционистской математики, а, следовательно, и логики являются не абсолютные истины (как в традиционном случае), а задачи (проблемы). Логические операторы формируют новые проблемы из уже поставленных, а сами формулы интуиционистской логики выражают умение решить те или иные составные задачи. Таким образом, интуиционистская логика оказывается логикой умений. Закон исключённого третьего теряет при таком подходе свой универсальный характер. Принятие его означало бы постулирование умения решить в каждый момент времени любую задачу, что вряд ли убедительно. Интересной стороной интерпретации Колмогорова является её нейтральность: интуиционистская логика может теперь быть объяснена исследователю, не понимающему сложной философии интуиционизма или просто не заинтересованному в ней. Интуиционистская логика в какой-то мере теряет свой «религиозный», эзотерический характер и становится заманчивым объектом исследования для «обыкновенного» математика. Мне кажется, что значительный прогресс в изучении интуиционистской логики, достигнутый в послевоенные годы (и открывший, помимо прочего, дорогу к практическим её применениям в информатике), в большой степени обязан этому новому подходу, восходящему к Колмогорову. 

Исследования Колмогорова по интерпретации интуиционистской логики развивались параллельно с усилиями выдающего голландского логика, ученика и последователя Брауэра А. Гейтинга. Многие идеи этих учёных оказались очень близкими. Однако в логической литературе до недавнего времени имя Колмогорова в этой связи почти не упоминалось. Мне кажется очень важным, что, восстанавливая историческую справедливость, два выдающихся представителя голландской школы, ученики Гейтинга Д. ван Дален и А. Трулстра в своей недавней великолепной двухтомной монографии [13] ввели в употребление термин «интерпретация Брауэра-Гейтинга-Колмогорова».  С именем Трулстры связана и недавняя публикация писем Колмогорова Гейтингу ([14–15]). Письма эти были обнаружены Трулстрой в архивах А. Гейтинга. Профессор Трулстра, с которым я состоял в течение ряда лет в дружеской переписке, любезно прислал мне копии этих бесценных исторических документов, относящихся к началу 30-х годов. Естественно, было бы крайне интересно найти письма Гейтинга к Колмогорову в бумагах последнего. К сожалению, если я не ошибаюсь, это оказалось невозможным. Тем временем В.А. Успенский предложил опубликовать русские переводы писем Колмогорова (оригиналы написаны на немецком и французском языках) в Успехах Математических Наук, что и было сделано с любезного согласия профессора Трулстры. Корреспонденция между Колмогоровым и Гейтингом, даже доступная только частично, проливает новый свет на раннюю историю интуиционизма и на личности обоих выдающихся учёных.

Как это случилось и с работой 1925 года, новая работа Колмогорова по интуиционистской логике осталась малоизвестной. По-видимому, Клини не знал об этой работе, когда он писал свою знаменитую статью о реализуемости [16].  Семантика реализуемости, оказавшаяся столь плодотворной, перекликается с ранними идеями Колмогорова из [10].

Вообще есть какая-то тайна в судьбе этих двух работ. Несмотря на всемирную репутацию их автора, они остались практически неизвестными за пределами России. Как уже говорилось, многие результаты были переоткрыты другими исследователями. Даже и сейчас, как я мог убедиться после своего переезда в США, значение и само существование этих работ неизвестно многим первоклассным экспертам на Западе. Можно надеяться, что статья Успенского, опубликованная по-английски и в одном из самых читаемых логических журналов, поможет исправить эту достойную сожаления ситуацию[xviii].