Олег Арсенов - Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре

«Вопреки впечатлению, которое обычно складывается у тех, кому довелось прослушать курс математики в стенах учебного заведения, математика — это не просто набор более или менее хитроумных приемов для решения задач. Математика открывает нам немало такого, о чем мы не знали и даже не подозревали, хотя речь идет о явлениях весьма существенных, и нередко ее выводы противоречат нашему чувственному

-8-

восприятию. Математика — суть нашего знания о реальном мире. Она не только выходит за пределы чувственного восприятия, но и оказывает на него воздействие».

Чтобы понять глубину творческого наследия великого французского ученого и хотя бы отчасти вникнуть в загадочные обстоятельства, окружающие некоторые разработки Пуанкаре, надо окунуться в научную атмосферу начала позапрошлого века…

К началу XIX века, по словам замечательного ученого, популяризатора и историка науки Морриса Клайна, математика напоминала величественное двухтысячелетнее дерево, прочно стоящее на почве физической реальности с могучими корнями и мощными ветвями, возвышающееся над всеми остальными областями знания. Мог ли кто-нибудь усомниться в том, что такому дереву суждено жить вечно! Действительно, убеждение в том, что природа основана на математических принципах, крепло с каждым днем. Задача математиков состояла в том, чтобы открывать эти принципы и познавать законы, управляющие Вселенной, а сама математика считалась инструментом, как нельзя лучше приспособленным для решения этой грандиозной задачи. Казалось, что нет границ познанию и что, в конце концов, можно разгадать все сокровенные загадки и тайны Мироздания.

Мало кто догадывался в то время, что в корнях великого математического древа давно уже копошатся черви сомнений и вот-вот на поверхность покажется нечто совершенно необычное и малопонятное — неевклидова геометрия. Трудно, но неизбежно возникает мысль, что сама по себе математика еще ничего не говорит о строении Космоса и тем более имеет мало общего с доказательством божественной природы Мироздания. Креационизм в лице священнослужителей получил страшный удар, подкрепленный атеизмом эпохи Просвещения, и никогда уже не смог претендовать на завоеванное кострами инквизиции место. Получалось, что именно человек является высшим разумом во Вселенной, ведь именно

-9-

он устанавливает порядок в Природе, выявляет ее простоту и математическую регулярность. Тут самое место еретической мысли, что в Природе вообще может быть не заложено никаких математических принципов. Вернее даже будет сказать, что математика — всего лишь некий довольно ограниченный план постижения окружающей реальности. Правда, это вполне осуществимый и достаточно рациональный план.

Моррис Клайн приводит слова юного французского гения Эвариста Галуа, так рано трагически ушедшего из жизни: «Эта наука — всего лишь одно из множества творений человеческого разума, более приспособленного к тому, чтобы изучать и искать истину, чем к тому, чтобы ее находить и познавать».

Конечно, и тогда раздавались рассудительные голоса о том, что, даже если математика утратила свое место в цитадели истины, в физическом мире она прочно удерживает свои позиции. Профессор Клайн утверждает, что нельзя было обойти или недооценить главное: математика была и остается превосходным методом исследования, открытия и описания физических явлений. В некоторых областях физики, подчеркивает профессор Клайн, математика составляет саму суть нашего понимания физического мира. При этом даже если математические структуры сами по себе не отражают реальности физического мира, их, тем не менее, можно считать единственным ключом к познанию реальности. Неевклидова геометрия не только не уменьшила ценности математики в этом отношении и не подорвала доверия к ее результатам, но напротив, как это ни парадоксально, способствовала расширению ее приложений, поскольку математики, почувствовав большую свободу в исследовании радикально новых идей, обнаружили, что некоторые из них вполне применимы во многих областях человеческой деятельности.

Получилось так, что, несмотря на рост ее абстрактного содержания, роль математики в упорядочении знаний об окружающем мире непрерывно возрастала. Немаловажно, что при этом резко увеличивались масштаб и точность охвата природных явлений.

Моррис Клайн считает, что здесь мы сталкиваемся с явно парадоксальной ситуацией. Область знания, больше не пре-

-10-

тендующая на роль носителя истины, подарила нам прекрасно согласующуюся с повседневным опытом евклидову геометрию, необычайно точную гелиоцентрическую теорию Коперника и Кеплера, величественную и всеохватывающую механику Галилея, Ньютона, Лагранжа и Лапласа, а также физически необъяснимую, но имеющую весьма широкую сферу приложений теорию электромагнетизма Максвелла, теорию относительности Эйнштейна с ее тонкими и необычными выводами и позволила многое понять в строении атома. Все эти блестящие достижения опираются на математические идеи и рассуждения. Возможно, в отрасли знания, о которой идет речь, все-таки заключена некая магическая сила, позволившая ей одержать столько побед, хотя сражалась она под непобедимым знаменем истины?

Рис. 4. Альберт Эйнштейн (1879–1955) в молодости, во времена работы в Бернском патентном бюро

«…Возникает вопрос, который волновал исследователей всех времен. Почему возможно такое превосходное соответствие математики с реальными предметами, если сама она является произведением только человеческой мысли, не связанной ни с каким опытом? Может ли человеческий разум без всякого опыта, путем только размышления понять свойства реальных вещей?»

-11-

Проблема мистической силы, таящейся в математических построениях, привлекала к себе многих выдающихся мыслителей. Сам великий Альберт Эйнштейн неоднократно обращался к вопросу: если аксиомы математики и принципы логики являются абстрактными умозрительными конструкциями, то почему вытекающие из них следствия так хорошо согласуются с реальной практикой?

Эти рассуждения так или иначе сводились к простому вопросу с поистине бездонным философским содержанием: почему математика сверхуниверсальна и вообще действует в нашем Мире?

Сначала считалось, что математики осознанно или, наоборот, неосознанно подбирают свои аксиомы именно таким образом, что выводимые из них следствия согласовываются с опытом. Профессор Клайн, в частности, считает, что первым эту идею высказал еще энциклопедист и просветитель Дени Дидро в своем труде «Мысли об интерпретации природы». Великий мыслитель сравнивал математика с игроком. И тот и другой играют, придерживаясь ими же придуманных абстрактных правил. И тот и другой сосредотачивают свои помыслы на исследовании некоего условного предмета, рожденного принятыми соглашениями и не имеющего основы в реальности. По мнению Клайна, именно таким образом действуют и создатели современных математических моделей. Их алгоритм внешне прост: берется одна из возможных моделей и сверяется с опытом. Если модель оказывается неадекватной, то ее переделывают, внося необходимые изменения. Тем не менее сама по себе возможность вывести из одной модели десятки, если не сотни, различных теорем, хорошо согласующихся с опытом и полностью применимых в окружающей нас физической реальности, сильно озадачивает уже многие поколения ученых. Наверное, где-то здесь лежат идеологические основы современнейших теорий Мультиверса — Вселенной, включающей в себя бесчисленное множество миров, в которых возможно абсолютно все.