Что думают гении. Говорим о важном с теми, кто изменил мир - Алекс Белл
В сущности, это была не одна, а две теоремы, близко связанные по смыслу. То, что открыл Гёдель, потрясло (а по мнению некоторых, перечеркнуло) самые основы математики, отчасти – философии и (если это вольно экстраполировать на все области знания) – науки вообще.
Скромный венский математик стал знаменитостью: следующие несколько лет в этой науке в мире едва ли была более обсуждаемая тема и чаще упоминаемая персона. Сам он к своей известности относился безразлично, спокойно продолжал работу. Но внешние обстоятельства резко изменили его жизнь в конце 1930-х годов. Гёдель был по крови чистым австрийцем, но внешность имел типично еврейскую. Нацистские молодчики не раз приставали к нему на улице с оскорблениями. А когда Гёделю пришла повестка из военкомата, он собрал вещи и с женой переехал за океан, в Принстон. Здесь он завел близкую дружбу с Эйнштейном, а его проблемы с психикой благодаря теплому климату и комфортному быту надолго исчезли. В своем новом университете он продолжал исследовать основы математики, а также опубликовал две новые примечательные работы. В одной из них глубоко верующий Гёдель попытался доказать математически существование Бога, в другой – привел оригинальное решение уравнений теории относительности. Обе попытки вызвали у ученых интерес, но смешанный с иронией.
Я услышал, как дверь за моей спиной открылась. Ученый шел мне навстречу широкими шагами, низко опустив голову, глядя куда-то в пол. На нем был плотный длинный серый плащ, на голове – шляпа. Поравнявшись со мной, он пожаловался на то, что у него сегодня, как назло, мало времени и он неважно себя чувствует. Я заверил, что у меня всего несколько вопросов и наш разговор долго не продлится. Гёдель нехотя кивнул. В этот момент мы проходили широкий холл на первом этаже, где на стене висела и бросалась в глаза огромная черно-белая фотография Эйнштейна.
– Вы действительно были друзьями?
– Больше, чем друзьями. Альберт был единственным человеком, с которым я мог всегда спокойно обсудить мои новые идеи. Да и у него было не много таких друзей, как я. Когда он скончался пять лет назад, мне казалось, что я потерял ближайшего родственника.
– Соболезную. Я должен написать о вас материал в научный журнал. Я сам не математик, но с интересом прочитал почти все о вас и ваших работах. Но кое-что мне осталось непонятным.
– Спрашивайте.
Выйдя из корпуса, мы пошли вдоль благоухающей аллеи под густыми кронами старых деревьев.
– Сразу оговорюсь, что математическую формулировку ваших теорем о неполноте я читателям приводить не буду. Они легко могут найти ее в справочниках. Определения – не самые сложные. Но читателю без хорошего научного образования они ничего не скажут, только с толку сразу собьют.
– Математику подобное странно слышать. Впрочем, извольте: пишите так, как считаете нужным.
– Благодарю. В своей статье я хочу сделать акцент на понятных и интересных выводах из теоремы. Ведь именно они, эти следствия, потрясли научное сообщество сильнее всего. Я даже выписал несколько таких выводов в блокнот, чтобы ничего не забыть и не перепутать. Итак, первое и самое сенсационное следствие вашей теоремы: «Не всякое истинное высказывание – доказуемо».
– Пожалуй, это слишком широкое обобщение. В сущности, я имел в виду не всю науку, а только математику и только построенную на определенных аксиомах (правда, другой математики и нет).
– Какая разница. Естественные науки говорят языком математики. И знаете, то, что вы сообщили миру, в корне меняет все правила игры. Помню, как в школе и университете преподаватели твердили ученикам: докажи эту теорему, только тогда можно поверить в ее истинность. Основной, незыблемый закон науки: либо докажи свою теорию с помощью фактов и логики, либо не трать мое время. И тут появляетесь вы и говорите: это не так! Существуют истинные теоремы и утверждения, доказать которые даже теоретически невозможно! Это невероятно, удивительно! И тревожно.
– Что же здесь тревожного?
– В общем философском смысле это значит, что если есть недоказуемые истины, а наука может опираться только на нечто строго доказанное и не может опираться ни на что недоказанное, то, значит, наука неполна и никогда (да-да, никогда!) не будет полна, всеобъемлюща. Более того, развивая это положение: количество верных, но недоказуемых истин может быть бесконечно. Это значит, что есть бесконечное количество истин, о существовании которых мы можем только догадываться и на которые, к сожалению, в науке и жизни мы никогда не сможем опереться.
– Но также существует и бесконечное количество доказуемых истин. Это, напротив, хорошая новость. Таким образом, получается, что, делая некое утверждение и пытаясь его доказать, мы играем в некую лотерею. Заранее не знаешь, можно ли вообще доказать теорему. Вот, например, великая теорема Ферма. В сущности, любому математику интуитивно понятно, что она верна. Но строго доказать ее до сих пор никому не удалось. И удастся ли?
В этот момент я сдержанно улыбнулся. Теорема Ферма в итоге была доказана сложнейшим путем в конце XX века. Но при жизни Гёдель не мог об этом узнать.
– Давайте перейдем к еще одному знаменитому следствию ваших теорем. «Внутри любой теории есть проблемы, которые невозможно разрешить только средствами этой теории».
– Да, данная формулировка точна. Хотя снова замечу, что речь идет только о математике.
– А я снова скажу, что неважно – о математике или обо всем. Если это верно для математики, то очевидно, что правильно и для других точных наук.
– Возможно. Подчеркну важный нюанс, который читатели легко могут упустить из вида. Да, внутри каждой теории есть проблемы, которые невозможно решить средствами этой теории. Но зато эти проблемы можно решить средствами другой теории, более высокого порядка. Вполне вероятно, что это вообще бесконечный процесс.
– Можете пояснить на примере?
– Я не любитель пространных аналогий. Но приведу простой пример. Классическая геометрия построена на пяти аксиомах Эвклида и призвана объяснить все пространственное строение нашего мира. Однако, как стало
