Рэймонд Смаллиан - Как же называется эта книга
174. Ответы на оба вопроса задачи утвердительны.
Предположим, что некий трансильванец считает истинным какое-то утверждение X. Отсюда, как нетрудно понять, отнюдь не следует, что X должно быть истинным, так как трансильванец мог утратить рассудок. Но если он считает, что X истинно, то X должно быть истинно! Действительно, предположим, что трансильванец в здравом уме. Так как он считает, что утверждение о том, что он считает утверждение истинным, истинно, то его утверждение "я считаю X истинным" должно быть истинно. Следовательно, он действительно считает утверждение X истинным. А так как он в здравом уме, то X должно быть истинным. Предположим теперь, что трансильванец лишился рассудка. Так как он считает, что утверждение о том, что он считает X истинным, истинно, то его утверждение "я считаю истинным" должно быть ложным. Следовательно, в действительности он не считает X истинным (ему только кажется, что он считает!).
Так как трансильванец не считает X истинным и лишился рассудка, то X должно быть истинным.
Итак, доказано следующее. Если трансильванец считает, что он считает утверждение X истинным, то X должно быть истинным независимо от того, в здравом ли уме трансильванец или лишился рассудка. Аналогично можно доказать, что если какой-нибудь трансильванец не считает, что он считает утверждение X истинным, то X должно быть ложным. Доказать это мы предоставляем читателю.
175. Ответы на оба вопроса задачи (как следует из решения предыдущей задачи) должны быть утвердительными.
Предположим, что по утверждению A он считает высказывание X истинным. Тогда A действительно считает именно так, как говорит. Следовательно, A считает, что он считает утверждение X истинным. В этом случае, как показано в решении предыдущей задачи, X должно быть истинно независимо от того, в здравом ли уме A или лишился рассудка.
Предположим теперь, что A - упырь. Тогда он не считает так, как говорит. Следовательно, A не считает, что считает X истинным. Значит, X должно быть ложным независимо от того, в здравом ли уме A или лишился рассудка.
176. A утверждает, что считает B человеком. B либо утверждает, что считает A человеком, либо утверждает, что считает A не человеком. Вторую альтернативу необходимо исключить, так как она приводит к следующему противоречию.
Рассмотрим два утверждения.
1) A утверждает, что считает B человеком.
2) B утверждает, что считает A не человеком.
Предположим, что A - человек. Тогда, как показано в решении задачи 175, из утверждения (1) следует, что B - человек. В свою очередь из утверждения (2) следует, что A не человек. Поскольку A по предположению человек, то мы приходим к противоречию.
Предположим теперь, что A - упырь. Тогда, как показано в решении задачи 175, из утверждения (1) следует, что B не человек. Следовательно, B - -- упырь. Из утверждения (2) мы, как показано в решении задачи 175, заключаем, что A - человек. Но такой вывод противоречит предположению о том, что A - упырь. Значит, если бы B ответил отрицательно, то мы пришли бы к противоречию. Следовательно, B ответил утвердительно.
177. Ни к какому заключению прийти нельзя, так как на ваш вопрос любой трансильванец ответит утвердительно.
Предоставляю вам самостоятельно убедиться в этом.
178. Случай, описанный в этой задаче, отличается от случая, рассмотренного в предыдущей задаче. Из ответа вашего собеседника нельзя заключить, человек он или упырь, но можно установить, в здравом ли он уме. Если встретившийся вам трансильванец в здравом уме, то он ответит "да". Если же он утратил рассудок, то на ваш вопрос последует отрицательный ответ. Доказательство предоставляем читателю.
179. Нет, нельзя. Не исключено, что ваш трансильванец - человек в здравом уме и граф Дракула жив. Возможно также, что ваш собеседник упырь, лишившийся рассудка, и графа Дракулы нет в живых. (В действительности если вы обратились с вопросом к упырю, утратившему рассудок, то Дракула мог быть как живым, так и мертвым.)
180. Нет, нельзя.
181. Нет, нельзя. Трансильванец, к которому вы обратились с вопросом, мог быть, например, упырем, лишившимся рассудка.
В этом случае граф Дракула мог бы быть как живым, так и мертвым.
182. Можно: на этот раз из полученного вами ответа следует, что Дракула жив.
Воспользуемся терминологией задачи 177 и сформулируем утверждение трансильванца следующим образом: "Если я надежен, то Дракула жив".
В гл. 8 (см. решения задач 109--112) мы доказали, что туземец с острова рыцарей и лжецов, высказавший утверждение "если я рыцарь, то то-то и то-то", должен быть рыцарем, а "то-то и то-то" должно быть истинно. Аналогично трансильванец, высказавший утверждение "если я надежен, то то-то и то-то", должен быть надежным, а "то-то и то-то"
должно быть истинным. Доказать это можно так же, как это сделано в решении задач 109--112 (достаточно слово "рыцарь" заменить словом "надежный").
183. Такое утверждение существует: "Я не надежен, и Дракулы нет в живых". Доказательство предоставляем читателю. (Указание: начните с доказательства ненадежности вашего собеседника.)
184. Такое утверждение существует: "Я надежен в том и только в том случае, если Дракула жив".
В решении задачи 122 из гл. 8 мы доказали, что если туземец с острова рыцарей и лжецов высказывает утверждение "я рыцарь в том и только в том случае, если то-то и то-то", то это "то-то и то-то" должно быть истинно (хотя мы ничего не можем сказать относительно того, рыцарь или лжец наш туземец). Аналогично если трансильванец высказывает утверждение "я надежен в том и только в том случае, если то-то и то-то", то это самое "то-то и то-то" должно быть истинно независимо от того, надежен ли трансильванец или ненадежен. Доказательство то же, что и прежде (необходимо лишь слово "рыцарь" заменить словом "надежный").
Приведенное нами утверждение - не единственное. Решением задачи могут служить и другие утверждения, например "я считаю, что утверждение "Дракула жив" эквивалентно утверждению, что я человек". Более забавно следующее утверждение: "Я считаю, что если кто-нибудь спросит меня, жив ли Дракула, то я бы ответил утвердительно".
185. Можно. Из утверждений (1) и (2) следовало бы, что Дракулы нет в живых.
Из утверждения (1) можно заключить, что наш трансильванец - человек. Действительно, упырь, находящийся в здравом уме, знал бы, что он в здравом уме, и заявил бы: "Я лишился рассудка". Упырь, лишившийся рассудка, считал бы, что находится в здравом уме, и заявил бы: "Я лишился рассудка". Следовательно, наш трансильванец - человек.
Напомним принцип, установленный в решении задачи 175: если человек заявляет, что считает некоторое утверждение X истинным, то X должно быть истинным (независимо от того, в здравом ли уме этот человек или лишился рассудка). Мы установили, что трансильванец - человек. Он заявил - см. утверждение (2), - что, по его мнению, Дракулы нет в живых. Следовательно, графа Дракулы не должно быть в живых.
186. Из первого утверждения ("я человек") не следует, что трансильванец - человек, а следует, что он должен быть в здравом уме. (Человек, утративший рассудок, не знал бы, что он человек. Упырь, лишившийся рассудка, считал бы себя человеком и, солгав, сказал бы, что он упырь.) Итак, мы знаем, что трансильванец в здравом уме. Докажем, что он человек. Предположим, что он упырь. Тогда не верно, что наш трансильванец человек, а так как из ложного утверждения следует что угодно, то его второе утверждение ("если я человек, то граф Дракула жив") должно бы быть истинно.
Но упырь в здравом уме не может высказывать истинных утверждений, и мы приходим к противоречию. Следовательно, наш трансильванец не может быть упырем и должен быть человеком.
Итак, нам известно, что трансильванец находится в здравом уме и что он человек, поэтому высказываемые им утверждения истинны. Следовательно, его второе утверждение ("если я человек, то граф Дракула жив") должна быть истинно. Он человек. Значит граф Дракула жив.
187. Достаточно спросить трансильванца, в здравом ли он уме. Человек (независимо от того, в здравом ли он уме или лишился рассудка) ответит утвердительно, а упырь отрицательно.
188. Стоит лишь спросить первого встречного, человек ли он, как все станет ясно. Трансильванец, находящийся в здравом уме (будь то человек или упырь), ответит утвердительно, а трансильванец, лишившийся рассудка, отрицательно.
В нескольких следующих задачах я приведу лишь ответ (то есть укажу, какой вопрос следует задать трансильванцу). Вы уже накопили достаточно опыта, чтобы самостоятельно убедиться в правильности предлагаемых решений.
189. Один из вопросов, на который все трансильванцы вынуждены будут ответить утвердительно, звучит так:
"Считаете ли вы себя человеком?" И дело здесь вовсе не в том, что все трансильванцы действительно считают себя людьми (так считают только люди, находящиеся в здравом уме, и упыри, лишившиеся рассудка), но тем не менее все трансильванцы будут утверждать, что считают себя людьми.
