Владимир Левшин - Черная маска из Аль-Джебры
Весовщик укоризненно покачал головой:
— Опять говоришь не подумав. Неравенство неравенству рознь.
Oн взмахнул палочкой. На левой чашке весов появились c + d, на правой е, а между ними — знак неравенства: c + d < e.
Правая чашка весов опустилась.
— Назови вместо этих букв любые числа, — предложил Весовщик.
Сева назвал. И на левой чашке весов мы увидели 4 + 8, а на правой 9. Левая чашка опустилась, и знак неравенства повернулся острием вправо: 4 + 8 > 9.
— Ага! Неравенство сохранилось, — обрадовался Сева.
— Да, — сказал Весовщик, — но теперь левая часть стала больше правой, а не меньше, как мы условились.
— Почтенный Весовщик, — вмешался Олег, — вы хотите сказать, что, подставив в левую часть этого неравенства 4 + 8, справа можно подставить любое число, но при одном условии: оно должно быть больше двенадцати. Тогда левая часть всегда будет меньше правой.
— Вот именно, вот именно! — умилился Весовщик и так закивал головой, что вот-вот борода отвалится! Потом он перестал кивать и взглянул на Севу. Тот стоял надутый, взъерошенный, как воробей после драки.
— Вижу, — сказал Весовщик, — тебе во что бы то ни стало хочется подставлять любые числа под все буквы. Так и быть, попробуй еще разок.
На весах засветилось равенство: 3а + 2b = 2а + 3b — b + а.
— Нет уж, спасибо! — Сева даже руками замахал. — Теперь меня не проведешь.
— Зря отказываешься. В этом примере можно подставлять вместо а и b любые числа, какие вздумается.
Весовщик подставил вместо а — Четверку, вместо b — Тройку: 3 × 4 — 2 × 3 = 2 × 4 + 3 × 3 — 3 + 4.
И сейчас же числа эти исчезли, уступив место числу 18 на каждой чашке весов: 18 = 18.
Сева растерянно поморгал глазами. Опять он попал впросак. Но почему?
— Да потому, — ответил Весовщик, — что это равенство особое. Оно называется тождеством. Какими числами ни заменяй буквы в тождестве, равенство все равно сохранится.
— Но как отличить тождество от обычного равенства, не подставляя чисел вместо букв? — спросила я.
— Для этого надо обе части равенства сделать совершенно одинаковыми. Смотрите!
Мы увидели на весах прежнее тождество: 3а + 2b = 2а + 3b — b + а.
Тут Весовщик протянул руки к правой чашке весов и как закричит:
— Подобные, приведитесь!
И сейчас же 2а в правой части соединились еще с одним а, 3b, из которых вычли одно b, превратились в 2b, и на весах образовалось другое выражение: За + 2b = 3а + 2b.
Покончив с тождеством, Весовщик взмахнул палочкой, и на ней очутился металлический обруч. С таким у нас занимаются художественной гимнастикой.
Я чуть не фыркнула: неужели Весовщик собирается танцевать с обручем? Вот будет весело! Но танцевать он не стал, а достал веревочку и измерил ширину круга в самом его широком месте.
— Эта ширина называется диаметром круга, — пояснил он. Хотя кто же этого не знает?
Потом Весовщик стал укладывать этот веревочный диаметр по обручу, чтобы измерить длину окружности. Сделал отметку, уложил веревочку один раз, второй, третий, но до отметки все еще не дошел. Выходит, длина окружности больше, чем три ее диаметра. Весовщик стал откладывать веревочку в четвертый раз, но ее оказалось слишком много. На глаз получалось, что надо отложить только одну пятую веревочки. Весовщик отрезал одну пятую, но и этот кусочек оказался длиннее, чем нужно. Значит, длина окружности меньше чем три и одна пятая диаметра.
Тогда Весовщик разрезал этот кусочек веревки пополам, и он стал равен одной десятой диаметра. Но теперь его не хватило до отметки. Значит, длина окружности меньше чем три и одна пятая, но больше чем три и одна десятая диаметра.
Долго Весовщик возился с этой задачей, а потом улыбнулся и сказал:
— О мои юные друзья, я пошутил. Я и раньше знал, что решить эту задачу точно невозможно. Мне только хотелось, чтобы вы убедились в этом сами. Во сколько раз длина окружности больше своего диаметра, можно подсчитать только приближенно. Вычислите это число с точностью хоть до миллиона знаков, оно все равно не будет совершенно точным.
— Значит, это — иррациональное число? — спросил Олег.
— Конечно! — подтвердила Эф. — Мы можем указать, где оно живет на монорельсовой дороге, но выразить его точным числом нельзя. В Аль-Джебре его обозначают греческой буквой Пи. Смотрите, вот оно.
πНа левую чашку весов вспорхнула буковка, слегка напоминающая русское «п», а на правой появилось число 3,14.
— Число Пи приближенно равно трем целым и четырнадцати сотым, — объяснил Весовщик.
Он взмахнул палочкой. Чашка с буквой Пи чуть-чуть опустилась, а в кошачьем глазке появились две волнистые линии:
— Это знак приближенного равенства, — пояснила Эф. — На самом деле Пи немножко больше чем 3,14. Поэтому левая чашка слегка перевешивает.
Снова стукнулись два медных подноса, и Главный Весовщик исчез. Прямо-таки растаял.
— Перерыв на пятнадцать минут! — объявила Эф.
Как ты думаешь, может, и мне объявить небольшой перерыв?
Таня.
Аль-Джебр!
(Сева — Нулику)
Знаешь, Нулик, напрасно я злился на этого Весовщика. Он даже почище фокусника. Фокусников и у нас пруд пруди. А настоящего живого чародея днем с огнем не сыщешь.
В перерыве я подговаривал ребят смыться. Сколько можно возиться с неравенствами, равенствами и всякими Пи? Пришли составлять уравнение, так чего там!… Но Олег сказал, что сперва неплохо бы выяснить, что такое уравнение. Ах да! Я и позабыл.
Снова стукнулись медные подносы, вернулась наша Эф, и мы опять уселись на коврики.
Только я хотел спросить, где же Весовщик, а он уж тут как тут! Сидит под весами, словно никуда не исчезал.
Весовщик взмахнул палочкой, и над каждой чашкой весов появилось по числу 14. В глазке засверкал знак равенства.
«Здравствуйте! — подумал я. — Все сначала!»
Но я ошибался. Кроме чисел 14, на каждой чашке весов появилось по Пятерке: 14 + 5 = 14 + 5.
Чашки не дрогнули, глазок по-прежнему показывал равенство. Потом вместо этих чисел на весы стали две суммы: а + b = с + d.
И снова подле каждой из них засветились одинаковые числа, на этот раз Тройки: a + b + 3 = c + d + 3.
Чашки не шелохнулись.
— Видите, — сказал Главный Весовщик, — если к обеим частям прибавить по одинаковому числу, равенство не нарушится. Понятно, что можно не только прибавить, но и вычесть по одинаковому числу. Можно умножить обе части или разделить их на одинаковые числа, — равенство все равно сохранится.
— А если прибавить не числа, а одинаковые буквы? — спросил я.
— На здоровье! — ответил Весовщик. — Ведь буква — то же число. Вот смотрите.
Теперь к суммам на весах прибавились буквы n. Равенство не исчезло: a + b + 3 + n = c + d + 3 + n.
Ox, и заскучал я от этих равенств, даже спать захотелось! Но тут случилось такое, что сон с меня как ветром сдуло.
На левой чашке весов засветилась буква, на которую я до сих пор и внимания не обращал, — Икс из латинского алфавита: x. Ты ее знаешь, она точь-в-точь знак умножения или русское Ха. Ставь ее на голову, поворачивай спиной — со всех сторон одинаковая! Рядом с Иксом засветилась Тройка, между ними вспыхнул знак минус, а на правой чашке весов оказался твой тезка, Нулик: х — 3 = 0.
В кошачьем глазке появился знак равенства и… Только не пугайся! Икс быстро обернулся (он, оказывается, стоял к нам спиной), и мы увидели, что на нем черная маска. Вот так история! Подумать только, под Черной Маской скрывается Икс!
Тут мы все повскакали, бросились к этому Иксу, схватили его за руки — а вдруг опять убежит? А он и не думает убегать. Стоит себе, глазами хлопает.
— В чем дело? — спрашивает. — Мы как будто незнакомы.
— Как? Разве не вы та самая Черная Маска, которая подбросила Нулику зеленый стручок? И разве не вас мы должны расколдовать?
— Нет, я не тот, кого вы ищете. Ведь в Аль-Джебре нас, Иксов, как капель в море. Этой буквой обозначается неизвестное число.
Пришлось нам извиниться и вернуться на свои коврики. Но кое-что мы все-таки разузнали: Черная Маска — неизвестное число.
А Весовщик продолжал как ни в чем не бывало:
— Перед вами равенство х — 3 = 0. Но оно немного отличается от тех, что я вам показывал до сих пор. Это не тождество, не просто равенство, а уравнение первой степени.
«Давно бы так!» — подумал я.
— В чем его особенность? — продолжал Весовщик. — Если в тождестве можно заменить любыми числами все буквы, а в обычном равенстве — только некоторые, то в уравнении первой степени вместо буквы Икс может стоять только одно-единственное число. Иначе равенство нарушится. Найти это единственное неизвестное число и значит решить уравнение. Пока уравнение не решено, никто не знает, чему равен Икс. Потому-то он и надевает черную маску. Стоит решить уравнение, и маска упадет сама собой.
