Владимир Левшин - Путевые заметки рассеянного магистра

Сева, однако, заметил, что это легко и просто с двузначными числами. А вот если взять трехзначное…

— Попробуйте в уме возвести в квадрат 615. Ведь для этого надо помножить 61 на 62. И не на бумажке, а в уме! А это и долго и нудно…

Все согласились, что Единичкин способ хорош только для двузначных чисел.

— Но ведь она возводила в квадрат и трехзначные, — напомнил Нулик. — Но каким образом?

Сева пожал плечами:

— Откуда я знаю? Об этом надо бы спросить у неё.

— Надо бы, — согласился президент, — да где она?

— Не так далеко, как ты думаешь, — сказал я, медленно засовывая руку в карман.

Ребята переглянулись.

— Вы хотите сказать… она там? — с запинкой произнёс Нулик, заворожённо следя за моей рукой.

Я не мог не улыбнуться.

— Успокойся. Всего только письмо от неё. В ту же секунду члены КРМ, издав какой-то поросячий визг, повисли на мне как связка бананов.

В общем, прошло не менее минуты, пока письмо, переходя из рук в руки, очутилось наконец у Тани и все успокоились настолько, что она смогла его прочитать.

ПИСЬМО ЕДИНИЧКИ

«Дорогие члены Клуба Рассеянного Магистра — Таня, Сева, Олег, Нулик и, конечно, Пончик! Мне уже очень давно хочется лично познакомиться с вами. Надеюсь, это удастся скоро — как только я вернусь домой. А пока познакомимся письменно.

Я по-прежнему путешествую с Магистром. Мы с ним очень подружились. В общем, он хороший и добрый. И умный. Да-да, не смейтесь. Разве виноват человек, что родился таким рассеянным! Думаю, и мы с вами не всегда так уж внимательны. Признаться, я тоже частенько посматриваю на уроках по сторонам, а когда меня вдруг спросят, отвечаю невпопад. А пишу я письмо потому, что вам иначе не догадаться, как возводить в квадрат трехзначные числа в уме. (Не догадаться потому, что способ выдумала я сама.)

Следите за мной внимательно. Возьмём число 215 и возведём его в квадрат. Сперва мысленно отделим, только не одну, а две последние цифры — 15. Далее узнаем, сколько в этом отделённом числе заключено пятёрок. Ясно, три. Припишем эту тройку к цифре 2, оставшейся в числе 215 слева. Получаем 23. Умножим 23 все на ту же двойку: 23*2=46. А дальше остаются пустяки. Припишем к числу 46 квадрат отделённой части — 15, он равен 225. (Это вы уже, вероятно, запомнили, возводя в квадрат двузначные числа.) И вот окончательный ответ: 2152=46225. Ну как, ловко? Поупражняйтесь-ка сами!

Я теперь буду вам часто писать. Жаль только, что не могу дать своего обратного адреса: ведь мы с Магистром никогда не знаем, где очутимся завтра! Ну, всего вам хорошего. До свидания.

Единичкин способ понравился, и все тут же стали проверять его на практике. Сева, например, стал возводить в квадрат недавно избранное им число 615. Отделил 15, установил, что в нём содержатся три пятёрки, и приписал тройку справа от шести: 63. Далее умножил 63 на шесть, то есть на оставшееся после отделения число: 63*6=378. Ребята внимательно следили за его рассуждениями. Затем по известному уже правилу Сева возвёл в квадрат 15, получил, естественно, 225 и приписал это число к числу 378.

И получилось 378 225.

А вот у Тани произошла заминка. Она стала возводить в квадрат 435. Как и полагается, отделила 35 (в этом числе 7 пятёрок). Приписала семёрку к четвёрке и умножила на четыре: 47*4=188. Быстро возвела в квадрат 35, получила 1225, а дальше…

— Чепуха получается!

В самом деле, приписав к 188 число 1225, Таня получила явно нелепый ответ, раз в 10 больше возможного: 1 881 225!

— Выходит, в Единичкином способе есть какой-то изъян, — грустно заключила она. — Жаль!

— Никакого изъяна, — успокоил я Таню. — Дело в том, что приписывать справа можно только трех-, но не четырехзначные числа. А у тебя-то получилось четырехзначное — 1225.

— Не могу же я сделать из него трехзначное! — вспылила Таня.

— И не надо! Припиши только последние три цифры — 225, а единицу прибавь к числу слева — к 188. Получишь 189. Вот к ста восьмидесяти девяти и приписывай теперь 225. И получишь 189 225.

— И как это вы догадались? — позавидовал Нулик. — Только мне-то нужно точное математическое доказательство. Знаете сами, без доказательств я ничему не верю.

Все согласились, что президент прав. Поэтому решили непременно найти Единичкиному правилу точное обоснование. Поиски, правда, отложили, а пока что занялись последним приключением Магистра, и Нулик тут же, с ходу спросил, что такое аналогия?

— Аналогия — это подобие, соответствие, — объяснил я. — Иногда такие соответствия можно найти между самыми на первый взгляд разными явлениями.

— Ах так?! — обрадовался президент. — Тогда, может, скажете, какая аналогия между падением тел и площадью круга или между длиной окружности и давлением жидкости?

— Спроси ещё, что общего между кручением вала и мыльными пузырями! — возмутился Сева.

— На первый взгляд ничего, конечно, — сказал я. — Но математики, между прочим, обнаруживают иногда аналогии в явлениях самых разных.

— Каким образом? — полюбопытствовал Нулик.

Вместо ответа я рассказал ребятам

СКАЗКУ ПРО КЛЮЧИК.

Однажды, в древние времена, набрели люди на огромную неприступную крепость-дворец, где никто уже давно не жил. В этом дворце были тысячи комнат, залов, галерей, башен… Однако проникнуть туда не мог никто — все двери были заперты, а ключей не было. Но люди оказались любознательными, им не терпелось выяснить, что скрывается за каждой запертой дверью. Позвали искусных мастеров и велели им подобрать ключи ко всем замкам. Легко сказать — ко всем! Ведь замков сотни, тысячи! Но мастера были чудо-мастерами. Они подобрали ключи особые. Каждый ключ открывал не один, а много — несколько десятков, а то и сотен замков. И вот необыкновенные тайны, скрытые в крепости, стали постепенно открываться людям. И всё же многие двери так до сих пор и остаются запертыми, а потомки искусных мастеров все ещё ломают головы, подбирая к ним ключи.

— Интересная сказка! — похвалил президент. — Но при чём здесь математика и математические аналогии?

— Сказка — ложь, да в ней намёк, добрым молодцам урок! — ответил я. — Ведь к любой математической задаче тоже надо сперва подобрать подходящий ключик. Вот попробуем решить такую задачу. В магазины привезли яблоки одного сорта, и поэтому продавали их повсюду по одной цене. Спрашивается: какую выручку от продажи этих яблок получил каждый магазин в отдельности?

— Как же решать задачу, когда ничего не известно — ни цены, ни сколько яблок завезено? — рассердился Нулик.

— В таком случае, — предложил я, — решим задачу попроще. Пусть нам нужно узнать выручку только одного магазина, который продал 50 килограммов яблок по шестидесяти копеек за килограмм.

— Другой разговор! — оживился президент. — Умножим 50 на 60, и выручка в кармане — 30 рублей!

— Правильно! Но ведь точно так же ты будешь вычислять выручку и любого другого магазина. Поэтому все решения можно обобщить одним-единственным. Обозначим цену буквой a, а количество проданных яблок буквой x. Тогда выручка (обозначим её буквой y) окажется равной a, умноженному на х, то есть: ax. Получим равенство: y=ax. Остаётся подставить вместо букв числа, то есть цену и количество яблок, проданных каждым магазином, — и задача решена.

— Понятно! — просиял Нулик. — Значит, равенство y=ax — тот самый ключик, который пригоден для всех фруктовых магазинов?

— Что фруктовые магазины! Будь ключик пригоден только для магазинов, великие возможности математики были бы слишком сужены. Одним и тем же математическим равенством можно выразить явления самые разнородные! Вот, например, что общего между выручкой магазина и полётом ракеты на Венеру? Казалось бы, ничего? Ан нет, общее есть! И тут и там надо воспользоваться одним и тем же ключиком. Пусть ракета уже вырвалась из объятий земного притяжения и с постоянной скоростью несётся в космосе. Стоит обозначить скорость ракеты все той же буквой a, а время её полёта буквой x, как мы сразу вычислим путь y, который пролетит ракета за это время. Надо только подставить соответствующие числа в наше волшебное «яблочное» равенство: y=ax.

Возьмём теперь совсем другую задачу: каково давление жидкости на дно сосуда? И тут нам поможет все тот же ключик: y=ax. Только теперь буквой a будет обозначен удельный вес жидкости, а буквой x — высота её уровня над дном сосуда. Много самых различных задач поможет нам решить волшебный ключик. В том-то и ценность математики, что для явлений разного порядка — из области механики, физики, химии, астрономии, биологии — она находит общие математические выражения. Иначе говоря, между многими различными явлениями существует ПОЛНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ, то есть соответствие.